初中北师大版6 利用三角函数测高教学设计及反思

这是一份初中北师大版6 利用三角函数测高教学设计及反思，共26页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第4讲


讲














三角函数的应用及利用三角函数测高


























概述





【教学建议】


本节是解直角三角形的进一步深化，探究解直角三角形在实际问题中的应用。在授课过程中，教师要注重解题思路的点拨，做好书写格式方面的示范。通过典型试题的练习，增加学生一些重要的解题经验，积累一些典型的解直角三角形的模型。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 在复杂图形中，如何找各个量之间的关系。


2. 如何选择合适的三角函数。


3.如何把实际问题抽象成相应的数学模型。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


解直角三角形为中考必考内容，至少有一道是解答题，常是利用解直角三角形的相关知识来解决实际问题。在解直角三角形的综合题中，常与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中，一要注意强调书写格式问题；二是交给学生常用的找等量关系的方法；三是要给学生储备典型的解直角三角形得模型（如：背靠背型和母子型等）。





二、知识讲解








知识点1 三角函数的一般应用





和学生一起回忆解直角三角形的方法和三种类型，进一步巩固相关知识，温故而知新。





知识点2 用三角函数解方位角、视角问题








提问：


什么是方位角，请画图说明；


什么是视角，请画图说明。





知识点3 利用三角函数测高





请学生总结书上是如何利用三角函数测高的，用到了哪些三角函数，具体如何实施的？你还能想到其它的解决办法吗？





三、例题精析








例题1





【题干】如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C，AC⊥MN，在直线MN上从点C前进一段路程到达点D，测得∠ADC=30°，∠BDC=60°，求这条河的宽度．（≈1.732，结果保留到0.1）．





【答案】26.0m


【解析】解：过点B作BE⊥MN于点E，





则CE=AB=30米，CD=CE+ED，AC=BE。


设河的宽度为x，


在Rt△ACD中，∵AC⊥MN，CE=AB=30米，∠ADC=30°，


∴=tan∠ADC，即，即。


在Rt△BED中，=tan∠BDC，即，即，。


∴，解得。


答：这条河的宽度为26.0米。





例题2





【题干】如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）





A．10米B．10米C．20米D．米


【答案】A


【解析】∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB


∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB


∵CD=20∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20,解得：AB=10．


故选A．





例题3





【题干】如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A测得D点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米．





【答案】58


【解析】过点A作AE⊥CD于点E．


根据题意，得∠DAE=45°，AE=DE=BC=30．


∴DC=DE+EC=DE+AB=30+28=58米．


故答案为：58．

















例题4





【题干】如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为450，测得乙楼底部D处的俯角为300，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，取1.73）．








【答案】335.8m


【解析】








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在解直角三角形在实际问题中的应用，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意基本模型的总结和积累。





基础





1. 为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cs54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）








【答案】247m


【解析】





2.如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（ ）





A．60米B．45米C．30米D．45米


【答案】B


【解析】∵在Rt△PBC中，，


∴BC==PC，


∵在Rt△PAC中，，


∴AC==PC，


∵AB=AC﹣BC=90，


∴PC﹣PC=90，


解得：PC=45．


故选B．


3.为庆祝重庆市获得“中国温泉之都”的称号，我区某温泉城在中心大楼上挂出宣传条幅AB（如图），小明站点C处，看条幅顶端A，测得仰角∠ACB=50°，此时CB=10米，AB⊥BC，则宣传条幅AB的长为（ ）





A．10sin50°米B．10tan50°米C．米D．米


【答案】B


【解析】∵AB⊥BC，


∴△ABC为直角三角形，


∵∠ACB=50°，CB=10米，


∴


∴AB=BC•tan50°=10•tan50°．


故选B．





巩固





1.在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？





【答案】237米


【解析】解：过点C作CE⊥AB于E和过点D作DF⊥AB于F，


设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，


则根据BE﹣AE=AB和AF﹣BF=AB得：


∴h1==50（+1）=50（1.732+1）=136.6≈137（米）


h2====50（+1）=50（3+1.732）=236.6≈237（米）


答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米．








2.在一次数学活动课上，胡老师带领九（3）班的同学去测一条南北流向的河宽。如图所示，张一凡同学在河东岸点A出测到河对岸边有一点C，测得C在A的北偏西31°的方向上，沿河岸向北前进21m到达B处，测得C在B的北偏西45°的方向上。


请你根据以上的数据，帮助该同学计算出这条河的宽度。（tan31°=）





【答案】31.5米


【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，





设CD=x米，


在Rt△BCD中，∠CBD=45°，


∴BD=CD=x米．


在Rt△ACD中，∠DAC=31°，


AD=AB+BD=（21+x）米，CD=x米，


∵，


∴，


解得x=31.5．


答：这条河的宽度为31.5米．





3.如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁．有一货轮以30海里/时的速度向正北航行，当它航行到A处时，发现B岛在它的北偏东30°方向，当货轮继续向北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向．问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：≈1.7，≈1.4）





【答案】见解析


【解析】解：作BD⊥AC于点D．


设BD=x海里，则在Rt△ABD中，tan30°=，∴AD=．


在Rt△CBD中，tan45°=，∴CD=x．∴AC=AD﹣CD=．


∵AC=30×=15，∴=15，∴x≈20.5．


20.5海里＞15海里．答：没有触礁的危险．











拔高





1.如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为108cm，支架OA与水平晾衣杆OC的夹角∠AOC为59°，求支架两个着地点之间的距离AB．（结果精确到0.1cm）(参考数据：sin59°=0.86，cs59°=0.52，tan59°=1.66)．








【答案】112.3cm


【解析】解：作OD⊥AB于点D，





∵OA=OB，∴AD=BD。


∵OC∥AB，∴∠OAB=∠AOC =59°。


在Rt△AOD中，AD=OA•cs59°，∴AB=2AD=2OA•cs59°=2×108×0.52≈112.3。


答：支架两个着地点之间的距离AB约为112.3cm。





2.如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cs25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cs65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）





【答案】207米


【解析】解：如图作CD⊥AB交AB的延长线于点D，


则∠BCD=45°，∠ACD=65°，


在Rt△ACD和Rt△BCD中，设AC=x，则AD=xsin65°，BD=CD=xcs65°，


∴100+xcs65°=xsin65°．


∴x=≈207（米），


∴湖心岛上迎宾槐C处与凉亭A处之间的距离约为207米．








3.某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：


小明：我站在此处看树顶仰角为。


小华：我站在此处看树顶仰角为。


小明：我们的身高都是1.6m.


小华：我们相距20m。


请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度。


（参考数据：，，结果精确到0.1）





【答案】28.9米


【解析】解：如图所示，延长BC交DA于E。


设AE的长为x m，


在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∠AEB=90°，


∴∠CAE=45°， AE=CE=x。


在Rt△ABE中，∠B=30°，AE=x，


∴，即：。


∵BE－CE=BC，BC=20， ∴，解得x=10+10。


∴AD=AE＋DE=10+10+1.6≈28.9（m）。


答：这棵汉柏树的高度约为28.9米。

















课堂小结





你今天学到了哪些解直角三角形的方法；


2.什么是方位角、视角；


3.如何利用三角函数测高。











拓展延伸








基础





1. 水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．


（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？


（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．








【答案】见解析


【解析】（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．


∵在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，


sin∠B=，


∴在矩形AFGD中，AF=16×=8，DG=8米


∴S△DCE=×CE×DG=×8×8=32


需要填方：150×32=4800（立方米）；


（2）在直角三角形DGC中，DC=16米，


∴GC==24米，


∴GE=GC+CE=32米，


坡度i===．





2. 如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（ ）





A．50米B．100米C．米D．米


【答案】D


【解析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC﹣BD=100的关系，进而可解即可求出答案．


解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．


在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴=tan30°=，∴BC=AB．


设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x


∴x=米．


故选D．


3.小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差．如图，他利用测角仪站在C处测得∠ACB=68°，再沿BC方向走80m到达D处，测得∠ADC=34°，求落差AB．（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m）





【答案】74m


【解析】∵ACB=68°，∠D=34°，∠ACB是△ACD的外角，


∴∠CAD=∠ACB﹣∠D=68°﹣34°=34°。∴∠CAD=∠D。∴AC=CD=80。


在Rt△ABC中，AB=AC×sin68°≈80×0.927≈74（m）。


答：落差AB为74m。





巩固





1.某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC=45°，坡长AB=2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC=30°．


（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；


（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）已知AB=2m，∠ABC=45°，


∴AC=BC=AB•sin45°=2×=，


答：舞台的高为米；


（2）已知∠ADC=30°．


∴AD=2AC=2．


CD=AD•cs30°=2×=＜3


答：修新楼梯AD时底端D不会触到大树．





2.如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度．（≈1.7）





【答案】61.1米


【解析】解：作AE⊥DC于点E，


∴∠AED=90°。


∵∠ABC=∠BCD=∠CEA=90°，


∴四边形ABCE是矩形。∴AE=BC， AB=EC。


设DC=x，∵AB=26，∴DE=x﹣26。


在Rt△AED中，tan30°=，即。


解得：x≈61.1。


答：乙楼高为61.1米。





3.如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得古塔顶端点的仰角为，求该古塔BD的高度(，结果保留一位小数) ．





【答案】627.3m


【解析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．





拔高





1.某厂家新开发一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，大灯A与地面距离1 m．


（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少？


（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2 s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km／h的速度驾驶该车，突然遇到危险情况，立即刹车直到摩托车停止，在这过程中刹车距离是 m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由．（参考数据：，，，）


M N


B


C


A


N








【答案】见解析


【解析】（1）CN= BN=


∴BC=1.4米


（2）速度化为m/s ,最小安全距离×0.2+=8米>7米


∴该车大灯设计不能满足最小安全距离的要求.





2.如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．


（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．


（2）若货轮以45海里/时的速度在A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）








【答案】见解析


【解析】解：（1）作CD⊥AB于点D，


在直角三角形ADC中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD．


在直角三角形CDB中，∵∠CBD=30°，∴=tan30°，∴BD=CD．


∵AD+BD=CD+CD=200，


∴CD=100（﹣1）；


（2）∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，


∴海盗到达D处用的时间为100（﹣1）÷50=2（﹣1），


∴警舰的速度应为[200﹣100（﹣1）]÷2（﹣1）=50海里/时．











3.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：


（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；


（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；


（3）量出测倾器的高度AC＝h。


根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。


如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）


（1）在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）


（2）写出你的设计方案。





【答案】 见解析


【解析】分析：（1）根据题意要求，可作出示意图；


（2）根据（1）中，所给的测量工具，可先测得∠MCE=α，山顶M的仰角∠MDE=β．根据测点A、B之间的距离AB=m构造两个直角三角形，可得设计方法．


解：（1）如图所示；





（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；


②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；


③量出测倾器的高度AC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB=m．根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．








教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.三角函数的一般应用


2.用三角函数解方位角、视角问题


3.利用三角函数测高
教学目标
1.掌握三角函数的应用


2.掌握利用三角函数解决实际问题
教学重点
能熟练掌握利用三角函数解决实际问题
教学难点
能熟练掌握利用三角函数解决实际问题
解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，


根据题意，∠CAE=45°，∠DAE=30°。


∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形。


∴DE=AB=123。


在Rt△ADE中，，


∴。


在Rt△ACE中，由∠CAE=45°，得CE=AE=。


∴CD=CE+DE=≈335.8。


答：乙楼CD的高度约为335.8m。



解：过点C作CD⊥AB于D，


∵BC=200m，∠CBA=30°，


∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，


BD=BC•cs30°=200×=100≈173.0（m）。


∵∠CAB=54°，


∴在Rt△ACD中，（m）。


∴AB=AD+BD≈173.0+73.5=246.5≈247（m）。


答：隧道AB的长为247m。