数学北师大版3 垂径定理教案设计

这是一份数学北师大版3 垂径定理教案设计，共19页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第14讲


讲














垂径定理及圆周角和圆心角的关系


























概述





【教学建议】


本节课的内容是中考中的常考内容，有时单独考，但常在综合题中出现。教师在教学中要把垂径定理及其推论的由来和推论讲解清楚，对于圆周角定理及其推论要求学生会使用，这对以后的做题很有帮助。


学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：


1. 垂径定理及其的推论的应用问题。


2. 圆周角定理的灵活使用。


【知识导图】











教学过程








一、导入





【教学建议】


垂径定理及圆周角和圆心角的关系是圆中最重要的内容之一，在中考试题中也常出现。在圆中可以融合三角形、四边形的相关知识，可以全面考察学生几何方面的知识和能力，本节在圆这一章的教学中，地位非常重要，在教学中，教师要给学生讲解典型模型，常用辅助线的加法等，增加学生的解题经验。





二、知识讲解








知识点1 垂径定理及其推论








垂径定理及推论








知识点2 圆周角定理及其推论





圆周角定理及其推论





三、例题精析








例题1





【题干】如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的(即圆心到地面的距离等于半径)，AB＝CD＝20 cm，BD＝200 cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少．








【答案】见解析


【解析】如下图，连接AC，作AC的垂直平分线交AC于点G，交BD于点N，交圆的另一点为M，则MN为圆弧形所在圆的直径，取MN的中点O，则点O为圆心，连接OA，OC.





∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD.


∵AB＝CD，∴四边形ABDC为矩形，


∴AC＝BD＝200 cm，GN＝AB＝CD＝20 cm，


∴AG＝GC＝eq \f(1,2)AC＝100 cm.


设⊙O的半径为R cm，由勾股定理，得


OA2＝OG2＋AG2，即R2＝(R－20)2＋1002，


解得R＝260，


∴MN＝2R＝520 cm.


答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度是520 cm.





例题2





【题干】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,他的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯道长一尺.问径几何？”


译为：“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸（ED=1寸）,锯道长一尺（AB=1尺=10寸）.问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示,请根据所学知识计算：圆形木材的直径是 （ ）





A.13寸 B. 20寸 C.26寸 D. 28寸


【答案】C


【解析】如图，根据题意可知，ED=1寸，AB=1尺=10寸，∵OD⊥AB，∴AD=BD=5寸，不妨设⊙O的半径为r，在△AOD中，，解得，∴圆形木材的直径AC的长为26寸，故答案为C.





例题3





【题干】如图，⊙O的半径OA⊥OB，弦AC⊥BD.求证：AD∥BC.





【答案】见解析


【解析】证明：∵∠AOB与∠ADB分别是所对的圆心角和圆周角，


∴∠ADB＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)×90°＝45°.


同理可证∠ACB＝eq \f(1,2)∠AOB＝45°.


由AC⊥BD，∠ADB＝45°，可知∠DAC＝45°，即∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.








例题4





【题干】已知：如图，为的直径，交于点，交于点．





（1）求的度数；


（2）求证：．





【答案】见解析


【解析】解:①∵∠A=45°，AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=45°，


∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67．5°，∴∠EBC=67．5°-45°=22．5°．


②连接AD，


∵AB是直径，∴∠ADB=90°，


∵AB=AC，∴BD=CD．








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意把握试题的难度。





基础








【答案】C


【解析】连半径，解直角三角形即可得。


【答案】D


【解析】根据垂径定理易得。


3.如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )


A、60° B、45° C、30° D、15°








【答案】A


【解析】由圆周角定理易得。





巩固





1.下列命题中正确的有（ ）


①垂直于弦的直径平分这条弦；


②与弦垂直的直线必过圆心；


③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；


④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．


A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个


【答案】D


【解析】根据垂径定理的逆定理易得。





2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）





A．140° B．110° C．90° D．70°





【答案】D


【解析】提示：圆内接四边形对角互补。





3.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆周角为 ．


【答案】45°或135°


【解析】注意考虑两种情况。





拔高





1.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.








【答案】8


【解析】根据垂径定理易得。





2.某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．








【答案】见解析


【解析】由垂径定理得BF＝eq \f(1,2)AB＝1.5 m，OE⊥AB，


设圆O的半径为x m，则OF＝(x－1) m.


在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625.


即圆O的半径是1.625 m.





3.如图所示，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点M，AD与CB交于点E.若eq \(AC,\s\up8(︵))所对的圆心角为72°，eq \(BD,\s\up8(︵))所对的圆心角为18°，求∠M＋∠AEC的度数．








【答案】见解析


【解析】根据题意，得∠A＝∠C＝9°，∠ABC＝36°。


∵∠AEC＝∠A＋∠ABC，


∴∠AEC＝9°＋36°＝45°.


又∵∠ABC＝∠C＋∠M，


∴∠M＝∠ABC－∠C＝36°－9°＝27°，


∴∠M＋∠AEC＝27°＋45°＝72°。











课堂小结





1.垂径定理及其推论


2.圆周角定理及其推论








拓展延伸








基础





1. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（ ）








【答案】A


【解析】连半径，根据勾股定理易得。





2. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）





A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm


【答案】C


【解析】作垂直，连半径，根据勾股定理易得。





3.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E等于（ ）





A．42 ° B．28° C．21° D．20°





【答案】B


【解析】连OD，根据等边对等角，三角形内角和是180°易求。





巩固





1.如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ．





【答案】


【解析】在优弧上任取一点D，∵∠ACB＝135°，则∠ADB＝45°，∠AOB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∵OA＝OB＝2，∴AB＝．





2.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为___________．





【答案】(﹣1，﹣2)


【解析】根据垂径定理，借助网格，找到两条弦AC,AB的垂直平分线的交点，即为圆心,其坐标为（-1，-2）．





3.如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝____．





【答案】60°


【解析】连接AD．∵AC为⊙O的直径，点D在圆上，OD⊥AC，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO＝45°，又∠BDO＝15°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB与∠ADB所对的弧都是AB弧，∴∠ACB＝∠ADB＝60°．








拔高





1. 如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为 cm．





【答案】


【解析】根据题意，抽象出数学图形





根据题意可知：AD＝10，∠AOD＝120°，由OA＝OD，∴∠DAO＝30°，设OE＝x，则OA＝2x，∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝5，在Rt△AOE中，x2+52＝（2x）2，解得：，∴CE＝OE＝．





2.如图所示，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.


(1)求证：CE=BE=IE；


(2)若，AE=4，求DE的长.





【答案】见解析


【解析】(1)连接BI.





∵点I是内心，


∴∠BAI=∠EAC，∠ABI=∠IBC.


∵∠EBC=∠EAC，∠BCE=∠BAI，


∴∠EBC=∠BCE.


∴CE=BE.


∵∠BIE=∠BAI+∠ABI，∠IBE=∠IBC+∠EBC，


∴∠BIE=∠IBE.


∴BE=IE. ∴CE=BE=IE.


(2)∵∠BAE=∠EBC，∠BEA=∠DEB，


∴△EBD∽△EAB.


∴.∴.


∵，AE=4，∴.∴DE=2.





3.如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F,


DB交AC于点G，若 eq \f(EF,AE) = eq \f(3,4), 则 eq \f(CG,GB) =





























【答案】


【解析】∵ eq \f(EF,AE) = eq \f(3,4),设EF=，AE=，∴AF=，连结AD、OD、BC，设OD与AC交于点H，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴∠ABD=90°-∠DAE，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠DAE，∴∠ADE=∠ABD，∵D是弧AC的中点，∴∠CAD=∠ABD，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠FHD=90°，∴∠FHD=∠AEF=90°，又∵∠DFH=∠AFE，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF=，DH=AE=，∴AH=AF+FH=+=，∴，∴，∵∠DAH=∠DBC，∴，在Rt△BCG中， eq \f(CG,GB)=.

















教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.垂径定理及其推论


2.圆周角定理及其推论
教学目标
1.掌握垂径定理及推论


2.掌握圆周角与圆心角的关系
教学重点
能熟练掌握垂径定理及圆周角圆心角的关系
教学难点
能熟练掌握垂径定理及圆周角圆心角的关系
示意图
垂径定理
推论
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．


如图,是⊙的弦,是⊙的直径,于点,则, EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AD)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`D),


EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`C)．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．


如图,是⊙的弦,是⊙的直径,,与交于点,,则, EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AD)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`D), EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`C)．
圆是 图形,它有 对称轴,每一条过 的直线都是它的对称轴．
定理
垂直于弦的直径_____________这条弦,并且平分弦所对的_____________．
推论
推论1
平分弦(不是直径)的直径_________于弦,并且_________弦所对的两条弧．
弦的垂直平分线经过_________,并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的_________垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．
推论2
圆的两条平行弦所夹的弧_________．
推论3
过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧,若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项．
示意图
圆周角的定义
圆周角定理
推论1
推论2
顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角．
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．
在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长也相等．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．
同一条弧所对的圆周角有 个．如上图,我们可以得到：∠AOB＝ ∠ACB．
1.如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）


A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2.如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）


A.CM=DM B. C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD




A．
cm
B．
5cm
C．
4cm
D．
cm