北师大版七年级下册第一章 整式的乘除1 同底数幂的乘法教案

这是一份北师大版七年级下册第一章 整式的乘除1 同底数幂的乘法教案，共13页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第1讲


讲














同底数幂的乘法


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握同底数幂乘法的运算法则并能够解决实际的运算问题。难点在于运算法则的灵活运用及逆运用。在授课过程中要注意结合之前所学知识点，引导学生对运算法则进行探索，使学生初步理解“从特殊到一般”的认知规律，培养学生的计算能力。


学生学习本节时可能会在以下四个方面感到困难：


1. 完全理解乘方的意义和相关知识。幂是n个相同因数的乘积，而不是底数和指数的乘积。


2. 在理解定义的基础上去探索运算法则，要强化学生对同底数幂乘法法则条件和结论的认识。条件是：（1）必须是“同底数幂”；（2）必须是乘法，满足这两个条件时才能应用“底数不变指数相加”的法则进行计算。而且要注意区分同底数幂乘法法则和合并同类项的法则，让学生能够清晰认识到这两种运算中系数、底数、指数之间的不同运算方法。


3. 要让学生能够“感受变式”，要能够掌握对运算法则的逆运用，可以帮助学生提升逆向思维能力，能够对运算法则更灵活的掌握。


4.学生要能够将所学的数学知识与实际问题联系起来，利用同底数幂乘法的运算法则解决实际应用问题。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关同底数幂乘法的考题，考查重点是计算类问题及运算法则的逆应用，其中底数不同时如何化为相同再计算，同底数幂乘法法则的逆运用问题要求学生能够熟练掌握，并要求学生能够利用所学知识解决基本的实际应用问题。





二、知识讲解








知识点1 同底数幂乘法的运算法则





回顾乘方的意义及相关知识


求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。其中，a叫做底数，n叫做指数。当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”。





2.同底数幂的乘法


同底数幂的乘法法则：表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am∙an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，即有(m+n)个a相乘，根据乘方的意义可得am•an=am+n .


同底数幂相乘，底数不变，指数相加.


（1）讨论归纳结果；（2）得出法则.


同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.


用符号表示：am∙an=am+n，（其中均为正整数）





知识点2 同底数幂乘法法则的逆运用





利用同底数幂乘法法则的逆运用进行计算


am+n=am∙an ,（其中均为正整数）





知识点3 利用同底数幂乘法解决实际问题





1.距离计算问题。


2.繁殖类问题。


3.找规律问题。





三、例题精析








例题1





【题干】计算·的结果是 （ ）


A． B． C．2 D．2


【答案】B


【解析】a2 、a4底数均为a，且为乘法运算，利用“底数不变指数相加”的运算法则进行计算。


故选B．





例题2





【题干】计算： 正确的结果是（ ）


A． B． C． D．


【答案】A


【解析】两个幂的底数不相同，需要先将底数化为相同再进行计算。


∵ -a3=-a3


∴ -a3∙a2=-a5


故选A。





例题3





【题干】若am=2，an=3，则am+n等于（ ）.


A.5 B.6 C.8 D.9


【答案】B


【解析】考查同底数幂乘法的逆运算。


∵ am+n=am∙an


∴ am+n=2×3=6


故选B。





例题4





【题干】 在我国平均每平方米的土地一年从太阳处得到的能量，相当于燃烧千克的煤产生的热量，我国960万平方千米的土地上，一年从太阳处得到的能量相当于燃烧多少千克的煤？（结果用科学记数法表示）


【答案】千克


【解析】解：960万平方千米=平方米


（千克）


答：一年从太阳处得到的能量相当于燃烧千克的煤.








例题5





【题干】按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 。


【答案】xy=z


【解析】解：观察这组数可以发现其底数均为2，且满足任意两个连续的数指数和等于下一个数的指数，符合同底数幂乘法的运算法则。故xy=z








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以从简单题型着手，逐步加大难度，让学生充分理解“从一般到特殊”的变化过程，能够对运算法则有更深入的理解和应用。





基础





1.已知求的值。


【答案】7


【解析】解：∵ a3∙am∙a2m+1=a3+m+2m+1=a3m+4


∴ 3m+4=25


∴ m=7





2.已知ax=5，ax+y=25.求ax+ay的值。


【答案】10


【解析】解：ax+y=ax∙ay=5×ay


∴ay=25÷5=5


∴ax+ay=5+5=10


3.已知2a=5，,2b=3，求2a+b+3的值。


【答案】120


【解析】解：2a+b+3=2a∙2b∙23=5×3×8=120








巩固





已知2a=3，2b=6，2c=12，则下列关系正确的是（ ）


A． B．


C． D．


【答案】C


【解析】观察数据可知：3×12=6×6


∴2a∙2c=2b∙2b


即 a+c=2b


2.若为正整数，且，则的值有（ ）


A、4对 B、3对 C、2对 D、1对


【答案】A


【解析】由题知：x+y=5 且x、y为正整数。





故共有四对：x=4y=1 x=3y=2 x=2y=3 x=1y=4





3.试说明523-521能被120整除。


【答案】见解析


【解析】解：523-521


=52152-1


=521×24


=520×5×24


=120×520


∴原式能被120整除。





拔高





1.计算22017--22016=____________。


【答案】22016


【解析】解：22017--22016=2×22016-22016=2-1×22016=22016


某市2013年底机动车的数量是辆，2014年新增辆，用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是多少？


【答案】2.3×106辆


【解析】解：2×106+3×105


=2×106+0.3×106


=2.3×106


答：该市2014年底机动车的数量是2.3×106辆。


3.求的值，可令，


则，因此.仿照以上推理，计算出


的值为（ ）


A、 B、 C、 D、


【答案】C


【解析】解：令 S=1+5+52+53+∙∙∙+52012


则 5S=5+52+53+∙∙∙+52013


∴ 5S-S=52013-1


故 S=52013-14








课堂小结





1.同底数幂乘法的运算法则：am∙an=am+n。


2.同底数幂乘法法则的逆运算：am+n=am∙an。


3.其他实际应用类问题。











扩展延伸











基础





1. 下列各式能用同底数幂乘法法则进行计算的是（ ）


A、x+y2x-y3 B、-x-yx+y2


C、x+y2+x-y3 D、-x-y2--x-y3





【答案】B


【解析】要利用同底数幂乘法的运算法则必须满足两个条件：（1）必须是“同底数幂”；（2）必须是乘法。首先排除A、C、D选项，B选项中的-x-y=-x+y，可将他们化为同底数幂再进行计算。


2. 已知，求下列各式的值：


（1）（2）（3）


【答案】见解析


【解析】解：（1）am+1=am∙a=2a


（2）an+2=an∙a2=4a2


（3）am+n+1=am∙an∙a=8a


1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，据估计地壳里含千克镭.试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？


【答案】3.75×1015千克


【解析】解：由题意可列式子为：3.75×105×1×1010


=3.75×105+10


=3.75×1015


答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量





巩固





我们规定两数a、b之间的一种运算，记作a，b：如果ab=c，那么a，b=c，例如2，8=3.试说明3，4+3，5=3，20


【答案】见解析


【解析】解：设3，4=x，3，5=y，3，20=z


由题可知：3x=4，3y=5，3z=20


∴ 3x∙3y=3z


则x+y=z；即3，4+3，5=3，20





2.我们规定：，例如，试求和的值。


【答案】


【解析】解：=1012×103=1015


=102×105=107





3.某种细菌每分钟可进行一次分裂，由一个分裂为3个。在培养皿中共有7个这种细菌，经过一小时之后，培养皿中共有多少个该细菌？


【答案】7×360个


【解析】解：一个细菌经过一分钟共分裂为360个；


7个细菌共分裂为7×360个。


答：经过一小时之后，培养皿中共有7×360个该细菌。








拔高





1.已知，.求的值。


【答案】5


【解析】解：3m=243=35， 3n=9=32


∴m=3，n=2


∴m+n=3+2=5


2.已知能被10整除，试说明也能被10整除。


【答案】见解析。


【解析】解：由题可设：3m+n=10x（x为整数）


∴3m=10x-n


3m+4+n=3m×34+n


=81×3m+n


=81×10x-n+n


=810x-81n+n


=810x-80n


=10（81x-8n）


∵x为整数


∴81x-8n为整数


∴3m+4+n能够被10整除。





,3.阅读下列材料：


一般地，n个相同的因数a相乘记为an。如2×2×2=23，此时3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28=3）。一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381=4）．


（1）计算以下各对数的值：


lg24= ，lg216= ，lg264= ．


（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式；





（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？


lgaM+lgaN= ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）


（4）根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义说明上述结论成立．


【答案】（1）2；4；6；（2）lg24+lg216=lg264；（3）lgaM+lgaN=lga（MN）；（4）见解析。


【解析】解：（1）从题意计算：lg24 = 2 ，lg216 = 4 ，lg264 = 6 ；


（2）lg24+lg216=lg264；


（3）lgaM+lgaN=lga（MN）；


（4）设lgaM=x，lgaN=y，lg264=z。


由对数的定义可得：ax=M, ay=N,az=MN;


∴ ax∙ay=az 即ax+y=az


∴ x+y=z


∴ lgaM+lgaN=lga（MN）











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.同底数幂的乘法的意义；


2.同底数幂乘法法则的逆运用；


3.同底数幂乘法法则的实际应用；


4.规律题。
教学目标
1.经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义；


2.了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题；


3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。
教学重点
同底数幂的乘法运算法则及其应用。
教学难点
同底数幂的乘法运算法则的灵活运用。