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初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式教案设计
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这是一份初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式教案设计，共17页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。
第6讲
讲
完全平方公式
概述
【教学建议】
本节的教学重点是完全平方公式的推导及应用，通过整式乘法的运算法则引导学生自主探索完全平方公式，使学生从根本上理解公式的由来，掌握完全平方公式的结构特征，并且可以结合图形面积问题对公式进行验证。在能够对完全平方公式能够熟练灵活运用的基础上，再去解决简便运算、规律探究等实际应用问题。
学生学习本节时可能会在以下四个方面感到困难：
1.完全平方公式的推导及公式结构特征。
2.完全平方公式的图形验证。
3.与完全平方公式有关的计算问题。
4.利用完全平方公式进行简便运算和规律探索。
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
结合整式乘法的运算法则让学生自主推导探索完全平方公式，使其更深入理解公式的结构特征，更要能够区别两个完全平方公式的异同之处，可以套用口诀来加深学生记忆。
对于完全平方公式的应用要在学生能够完全理解并灵活运用两个公式的基础上，逐步深入讲解各类应用问题，比如简便计算的常用方法，公式的逆应用及规律探索问题。
二、知识讲解
知识点1 完全平方公式
完全平方公式：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍；
a+b2= a2+2ab+b2 a-b2= a2-2ab+b2
口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央；
2.完全平方公式的逆应用；
3.完全平方公式的图形验证。
知识点2 完全平方公式的应用
1.简便计算；
2.配方法
3.规律探究。
三、例题精析
例题1
【题干】计算：①2a-b2； ②-3x-y2
【答案】见解析。
【解析】解：①2a-b2=2a2-2×2a×b+b2=4a2-4ab+b2；
②-3x-y2=-3x2-2×-3x∙y+y2=9x2+6xy+y2。
例题2
【题干】如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A、30 B、±30 C、15 D、±15
【答案】B
【解析】解：9x2+kx+25=3x2+kx+52
∴kx=±2×3x×5=±30x
∴k=±30
故选B。
例题3
【题干】计算：（1）99992 ； （2） a+b-c2。
【答案】见解析。
【解析】解：（1）99992=10000-12=100002-2×10000×1+12=99980001
（2） a+b-c2=a+b+c2
=a+b2+2a+b∙c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
例题4
【题干】先化简，再求值：，其中，
【答案】见解析。
【解析】解：原式=a2-2ab+b2+ab+b2-a2-2b2
=-ab
将a=-13，b=3代入，原式=-ab=--13×3=1
例题5
【题干】已知x2+y2－6x+10y+34=0，求x+y的值。
【答案】-2
【解析】解：x2+y2－6x+10y+34=0
x2-6x+9+y2+10y+25=0
x-32+y+52=0
∵x-32≥0；y+52≥0
∴ x-3=0；y+5=0
即x=3，y=-5
∴x+y=3+-5=-2
四 、课堂运用
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以根让学生从探索简单题目着手，引导学生逐步去发现理解公式的各种应用，掌握完全平方公式的结构特征和公式之间的转化，从而去解决实际问题。尤其要注意两个完全平方公式及平方差公式之间的转化计算问题，需要学生对两种公式完全掌握，所以在教学过程中要根据学生接受程度从易到难逐步学习。
基础
1. 计算： 1002﹣2×100×99+992=__________。
【答案】1
【解析】解：1002﹣2×100×99+992=100-992=1
2. 计算：
①；②；
③；④；
⑤；⑥
【答案】① 2ab；② 2ab ；③ a2+b2；④a-b2；⑤ 4ab；⑥4ab
【解析】解：① a2+b2=a+b2-2ab；
② a2+b2=a-b2+2ab；
③ 2ab=a+b2-a2+b2；
④ 2ab=a2+b2-a-b2；
⑤ a+b2=a-b2+4ab；
⑥ a-b2=a+b2-4ab。
3. 若把代数式化为的形式，其中m，k为常数，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=x-12+2
故选B。
4. 先化简，再求值(m﹣2n)(m+2n)﹣，其中m=，n=﹣1．
【答案】见解析。
【解析】解：原式=m2-4n2-m2-2mn+n2
=m2-4n2-m2+2mn-n2
=-5n2+2mn
将m=，n=﹣1代入得：
原式=-5n2+2mn=-5-1=-6
巩固
1.有一道题：“化简求值：，其中”．小明在解题时错错误地把“”抄成了“”，但显示计算的结果是正确的，你能解释一下，这是怎么回事吗？
【答案】见解析
【解析】解：
===
当a=2时，，当a=－2时，，所以计算结果还是正确的
已知x-1x=6，求x2+1x2的值。
【答案】38
【解析】解：∵ x-1x=6
∴x-1x2=36
∴x2-2+1x2=36
∴x2+1x2=38
3. 观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）
A.36 B.45 C.55 D.66
【答案】B
【解析】解析：（a+b）2=a22+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选B．
拔高
1. 已知，，，求：代数式的值
【答案】见解析
【解析】解：a2+b2+c2-ab-ac-bc
=122a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc
=12a-b2+a-c2+b-c2
将a=38x-20，b=38x-18，c=38x-16代入得：
原式=12-22+-42+-22
=124+16+4
=12
2. 如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（）
A.a2+2ab+b2=（a+b）2 B. a2-2ab+b2=（a-b）2
C.（a+b）（a-b）=a2﹣b2 D. a2+b2=（a+b）2
【答案】A
【解析】解析：大正方形的面积可表示为：a+b2 或c2+2ab
∵c2=a2+b2
∴a2+2ab+b2=（a+b）2
故选A。
3. 观察下列等式：
1×3+1=22
3×5+1=42
5×7+1=62
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（1）请你按照上述三个等式的规律写出第④个、第⑤个等式；
（2）请猜想，第n个等式（n为正整数）应表示为 ；
（3）证明你猜想的结论。
【答案】见解析。
【解析】解：（1）第④个算式为:
第⑤个算式为:
（2）第n个算式为:
（3）证明: ∵左边=
右边=
∴
4. 先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
（1）若x2+2y2-2xy+4y2+4=0，求 xy的值．
（2）已知整数a、b满足a2+b2=6a+8b-25，且c=2a-3b，求c的值．
【答案】见解析。
【解析】解：（1）x2+2y2-2xy+4y+4=0
x2+y2-2xy+y2+4y+4=0
x-y2+y+22=0
∵x-y2≥0，y+22≥0
∴x-y=0，y+2=0
∴x=y=-2
则 xy=-2-2=14
（2）a2+b2=6a+8b-25
a2-6a+9+b2-8b+16=0
a-32+b-42=0
∴ a-3=0，b-4=0
∴ a=3，b=4
∴c=2a-3b=2×3-3×4=-6
课堂小结
1．完全平方公式： （a+b）2= a2+2ab+b2 （a-b）2= a2-2ab+b2；
2.完全平方公式的转换：① a2+b2=a+b2-2ab；
② a2+b2=a-b2+2ab；
③ 2ab=a+b2-a2+b2；
④ 2ab=a2+b2-a-b2；
⑤ a+b2=a-b2+4ab；
⑥ a-b2=a+b2-4ab；
配方法的应用；
图形面积法验证整式乘法公式；
探究规律问题。
扩展延伸
基础
1.计算：（1）3m-2n2 ； （2） -2x-y2
【答案】见解析。
【解析】解：（1）3m-2n2=9m2-12mn+4n2；
（2） -2x-y2=4x2+4xy+y2
2. 已知，求的值。
【答案】见解析。
【解析】解：原式=x2+2xy+y2-5xy-x2-y2
=-3xy
将y=2x代入得：原式=-3xy=-6
3.已知a+b=5，ab=-2，求下列各式的值：① a2+b2 ② a-b2
【答案】① 29；② 33 。
【解析】解：① a2+b2=a+b2-2ab=25+4=29；
② a-b2= a2+b2-2ab=29+4=33
巩固
计算：① 2a+b+12a-b-1； ②-99122
【答案】见解析
【解析】解：① 2a+b+12a-b-1
=2a2-b+12
=4a2-b2-2b-1
②-99122=-100+122
=10000-2×100×12+14
=990014
试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数。
【答案】见解析
【解析】解：x2+y2+6x-4y+15
=x2+6x+9+y2-4y+4+2
=x+32+y-22+2
∵x+32≥0，y-22≥0
∴x+32+y-22+2一定为正数。
故代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数
3. 如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：
方法一： ； 方法二： ；
（2）观察图②，试写出，，2ab，这四个代数式之间的等量关系；
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：
已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求+的值．
（4）利用你发现的结论，求：的值．
【答案】（1）方法一：a+b2；方法二： a2+2ab+b2；（2）a+b2= a2+2ab+b2；（3）25；（4）1000000．
【解析】（3） a2+b2=a+b2-2ab=49-4×6=25
（4） 9972+6×997+32=997+32=1000000
拔高
1.如图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：空白部分面积可表示为：m+n2-4mn=m-n2
故选A。
2. 阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，∵（x＋2）2≥0，∴（x＋2）2＋1≥1，∴x2＋4x＋5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2－4x＋5＝（x ）2＋ ；
（2）已知x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，求x＋y的值；
（3）比较代数式：x2－1与2x－3的大小。
【答案】（1）-2；1 （2）-1； （3）x2-1>2x-3
【解析】解：（2）x2-4x+y2+2y+5=0
x2-4x+4+y2+2y+1=0
x-22+y+12=0
∴x-2=0，y+1=0
∴ x=2，y=-1
∴x+y=-1
（3）x2-1-2x-3=x2-2x+2
=x-12+1>0
∴x2-1>2x-3
3.先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x2+6x﹣2）
=2（x2+6x+9﹣9﹣2）
=2[（x+3）2﹣11]
=2（x+3）2﹣22
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数
所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3
进而2（x+3）2﹣22
的最小值是2×0﹣22=﹣22
所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22
解决问题：
请根据上面的解题思路，探求多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值
【答案】见解析
【解析】解：3x2-6x+12=3x2-2x+1-1+12
=3x-12-3+12
=3x-12+9
∵3x-12≥0
∴3x-12+9≥9
∴当x=1时，多项式3x2-6x+12有最小值9。
教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.完全平方公式；
2.配方法的应用；
3.利用完全平方公式的计算；
4.规律探究。
教学目标
1、体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算；
2、通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力.培养学生的数形结合能力；
3、体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。
教学重点
1、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；
2、会运用公式进行简单的计算。
教学难点
1、完全平方公式的推导及其几何解释；
2、完全平方公式的结构特点及其应用。
第6讲
讲
完全平方公式
概述
【教学建议】
本节的教学重点是完全平方公式的推导及应用，通过整式乘法的运算法则引导学生自主探索完全平方公式，使学生从根本上理解公式的由来，掌握完全平方公式的结构特征，并且可以结合图形面积问题对公式进行验证。在能够对完全平方公式能够熟练灵活运用的基础上，再去解决简便运算、规律探究等实际应用问题。
学生学习本节时可能会在以下四个方面感到困难：
1.完全平方公式的推导及公式结构特征。
2.完全平方公式的图形验证。
3.与完全平方公式有关的计算问题。
4.利用完全平方公式进行简便运算和规律探索。
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
结合整式乘法的运算法则让学生自主推导探索完全平方公式，使其更深入理解公式的结构特征，更要能够区别两个完全平方公式的异同之处，可以套用口诀来加深学生记忆。
对于完全平方公式的应用要在学生能够完全理解并灵活运用两个公式的基础上，逐步深入讲解各类应用问题，比如简便计算的常用方法，公式的逆应用及规律探索问题。
二、知识讲解
知识点1 完全平方公式
完全平方公式：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍；
a+b2= a2+2ab+b2 a-b2= a2-2ab+b2
口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央；
2.完全平方公式的逆应用；
3.完全平方公式的图形验证。
知识点2 完全平方公式的应用
1.简便计算；
2.配方法
3.规律探究。
三、例题精析
例题1
【题干】计算：①2a-b2； ②-3x-y2
【答案】见解析。
【解析】解：①2a-b2=2a2-2×2a×b+b2=4a2-4ab+b2；
②-3x-y2=-3x2-2×-3x∙y+y2=9x2+6xy+y2。
例题2
【题干】如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A、30 B、±30 C、15 D、±15
【答案】B
【解析】解：9x2+kx+25=3x2+kx+52
∴kx=±2×3x×5=±30x
∴k=±30
故选B。
例题3
【题干】计算：（1）99992 ； （2） a+b-c2。
【答案】见解析。
【解析】解：（1）99992=10000-12=100002-2×10000×1+12=99980001
（2） a+b-c2=a+b+c2
=a+b2+2a+b∙c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
例题4
【题干】先化简，再求值：，其中，
【答案】见解析。
【解析】解：原式=a2-2ab+b2+ab+b2-a2-2b2
=-ab
将a=-13，b=3代入，原式=-ab=--13×3=1
例题5
【题干】已知x2+y2－6x+10y+34=0，求x+y的值。
【答案】-2
【解析】解：x2+y2－6x+10y+34=0
x2-6x+9+y2+10y+25=0
x-32+y+52=0
∵x-32≥0；y+52≥0
∴ x-3=0；y+5=0
即x=3，y=-5
∴x+y=3+-5=-2
四 、课堂运用
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以根让学生从探索简单题目着手，引导学生逐步去发现理解公式的各种应用，掌握完全平方公式的结构特征和公式之间的转化，从而去解决实际问题。尤其要注意两个完全平方公式及平方差公式之间的转化计算问题，需要学生对两种公式完全掌握，所以在教学过程中要根据学生接受程度从易到难逐步学习。
基础
1. 计算： 1002﹣2×100×99+992=__________。
【答案】1
【解析】解：1002﹣2×100×99+992=100-992=1
2. 计算：
①；②；
③；④；
⑤；⑥
【答案】① 2ab；② 2ab ；③ a2+b2；④a-b2；⑤ 4ab；⑥4ab
【解析】解：① a2+b2=a+b2-2ab；
② a2+b2=a-b2+2ab；
③ 2ab=a+b2-a2+b2；
④ 2ab=a2+b2-a-b2；
⑤ a+b2=a-b2+4ab；
⑥ a-b2=a+b2-4ab。
3. 若把代数式化为的形式，其中m，k为常数，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=x-12+2
故选B。
4. 先化简，再求值(m﹣2n)(m+2n)﹣，其中m=，n=﹣1．
【答案】见解析。
【解析】解：原式=m2-4n2-m2-2mn+n2
=m2-4n2-m2+2mn-n2
=-5n2+2mn
将m=，n=﹣1代入得：
原式=-5n2+2mn=-5-1=-6
巩固
1.有一道题：“化简求值：，其中”．小明在解题时错错误地把“”抄成了“”，但显示计算的结果是正确的，你能解释一下，这是怎么回事吗？
【答案】见解析
【解析】解：
===
当a=2时，，当a=－2时，，所以计算结果还是正确的
已知x-1x=6，求x2+1x2的值。
【答案】38
【解析】解：∵ x-1x=6
∴x-1x2=36
∴x2-2+1x2=36
∴x2+1x2=38
3. 观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）
A.36 B.45 C.55 D.66
【答案】B
【解析】解析：（a+b）2=a22+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选B．
拔高
1. 已知，，，求：代数式的值
【答案】见解析
【解析】解：a2+b2+c2-ab-ac-bc
=122a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc
=12a-b2+a-c2+b-c2
将a=38x-20，b=38x-18，c=38x-16代入得：
原式=12-22+-42+-22
=124+16+4
=12
2. 如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（）
A.a2+2ab+b2=（a+b）2 B. a2-2ab+b2=（a-b）2
C.（a+b）（a-b）=a2﹣b2 D. a2+b2=（a+b）2
【答案】A
【解析】解析：大正方形的面积可表示为：a+b2 或c2+2ab
∵c2=a2+b2
∴a2+2ab+b2=（a+b）2
故选A。
3. 观察下列等式：
1×3+1=22
3×5+1=42
5×7+1=62
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（1）请你按照上述三个等式的规律写出第④个、第⑤个等式；
（2）请猜想，第n个等式（n为正整数）应表示为 ；
（3）证明你猜想的结论。
【答案】见解析。
【解析】解：（1）第④个算式为:
第⑤个算式为:
（2）第n个算式为:
（3）证明: ∵左边=
右边=
∴
4. 先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
（1）若x2+2y2-2xy+4y2+4=0，求 xy的值．
（2）已知整数a、b满足a2+b2=6a+8b-25，且c=2a-3b，求c的值．
【答案】见解析。
【解析】解：（1）x2+2y2-2xy+4y+4=0
x2+y2-2xy+y2+4y+4=0
x-y2+y+22=0
∵x-y2≥0，y+22≥0
∴x-y=0，y+2=0
∴x=y=-2
则 xy=-2-2=14
（2）a2+b2=6a+8b-25
a2-6a+9+b2-8b+16=0
a-32+b-42=0
∴ a-3=0，b-4=0
∴ a=3，b=4
∴c=2a-3b=2×3-3×4=-6
课堂小结
1．完全平方公式： （a+b）2= a2+2ab+b2 （a-b）2= a2-2ab+b2；
2.完全平方公式的转换：① a2+b2=a+b2-2ab；
② a2+b2=a-b2+2ab；
③ 2ab=a+b2-a2+b2；
④ 2ab=a2+b2-a-b2；
⑤ a+b2=a-b2+4ab；
⑥ a-b2=a+b2-4ab；
配方法的应用；
图形面积法验证整式乘法公式；
探究规律问题。
扩展延伸
基础
1.计算：（1）3m-2n2 ； （2） -2x-y2
【答案】见解析。
【解析】解：（1）3m-2n2=9m2-12mn+4n2；
（2） -2x-y2=4x2+4xy+y2
2. 已知，求的值。
【答案】见解析。
【解析】解：原式=x2+2xy+y2-5xy-x2-y2
=-3xy
将y=2x代入得：原式=-3xy=-6
3.已知a+b=5，ab=-2，求下列各式的值：① a2+b2 ② a-b2
【答案】① 29；② 33 。
【解析】解：① a2+b2=a+b2-2ab=25+4=29；
② a-b2= a2+b2-2ab=29+4=33
巩固
计算：① 2a+b+12a-b-1； ②-99122
【答案】见解析
【解析】解：① 2a+b+12a-b-1
=2a2-b+12
=4a2-b2-2b-1
②-99122=-100+122
=10000-2×100×12+14
=990014
试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数。
【答案】见解析
【解析】解：x2+y2+6x-4y+15
=x2+6x+9+y2-4y+4+2
=x+32+y-22+2
∵x+32≥0，y-22≥0
∴x+32+y-22+2一定为正数。
故代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数
3. 如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：
方法一： ； 方法二： ；
（2）观察图②，试写出，，2ab，这四个代数式之间的等量关系；
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：
已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求+的值．
（4）利用你发现的结论，求：的值．
【答案】（1）方法一：a+b2；方法二： a2+2ab+b2；（2）a+b2= a2+2ab+b2；（3）25；（4）1000000．
【解析】（3） a2+b2=a+b2-2ab=49-4×6=25
（4） 9972+6×997+32=997+32=1000000
拔高
1.如图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：空白部分面积可表示为：m+n2-4mn=m-n2
故选A。
2. 阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，∵（x＋2）2≥0，∴（x＋2）2＋1≥1，∴x2＋4x＋5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2－4x＋5＝（x ）2＋ ；
（2）已知x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，求x＋y的值；
（3）比较代数式：x2－1与2x－3的大小。
【答案】（1）-2；1 （2）-1； （3）x2-1>2x-3
【解析】解：（2）x2-4x+y2+2y+5=0
x2-4x+4+y2+2y+1=0
x-22+y+12=0
∴x-2=0，y+1=0
∴ x=2，y=-1
∴x+y=-1
（3）x2-1-2x-3=x2-2x+2
=x-12+1>0
∴x2-1>2x-3
3.先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x2+6x﹣2）
=2（x2+6x+9﹣9﹣2）
=2[（x+3）2﹣11]
=2（x+3）2﹣22
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数
所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3
进而2（x+3）2﹣22
的最小值是2×0﹣22=﹣22
所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22
解决问题：
请根据上面的解题思路，探求多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值
【答案】见解析
【解析】解：3x2-6x+12=3x2-2x+1-1+12
=3x-12-3+12
=3x-12+9
∵3x-12≥0
∴3x-12+9≥9
∴当x=1时，多项式3x2-6x+12有最小值9。
教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.完全平方公式；
2.配方法的应用；
3.利用完全平方公式的计算；
4.规律探究。
教学目标
1、体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算；
2、通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力.培养学生的数形结合能力；
3、体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。
教学重点
1、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；
2、会运用公式进行简单的计算。
教学难点
1、完全平方公式的推导及其几何解释；
2、完全平方公式的结构特点及其应用。
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