初中数学北师大版七年级下册2 图形的全等教案

这是一份初中数学北师大版七年级下册2 图形的全等教案，共20页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第12讲


讲














全等图形的认识


























概述





【教学建议】


本节课要让学生能够熟悉三角形的概念，并对三角形的边、角关系及其中的重要线段有初步认识，为全等图形的学习打下良好的基础；然后可以结合实际生活中的例子让学生对全等图形有基本的概念，理解全等图形的边角关系，并利用全等图形的性质解决相关问题。





学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1.三角形的内角和及三边关系的计算；


2.三角形中的重要线段；


3.全等图形的认识及基本应用。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


由三角形的定义入手，引导学生探索三角形的边角关系，并且利用三角形的内角和与三边关系进行相关计算；然后通过作图让学生理解三角形中的三种重要线段：中线、高线、角平分线的概念及性质，最后引入全等图形的概念，让学生有层次地逐步深入地理解所学知识。





二、知识讲解








知识点1 三角形的边角关系





1.三角形的定义；


2.三角形的三边关系：


（1）两边之和大于第三边；（2）两边之差小于第三边；


3.三角形的内角和。





知识点2 三角形中的线段





1.三角形的中线；


2.三角形的角平分线；


3.三角形的高。





知识点3 全等图形





1.全等图形的性质；


2.全等三角形的概念及性质。





三、例题精析








例题1





【题干】下面是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )





A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）


【答案】C


【解析】三条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形角三角形。


故选C．





例题2





【题干】已知 a＝3cm，b＝6cm，则下列长度的线段中，能与 a，b 组成三角形的是 ( )


A. 2cm B. 6cm C. 9cm D. 11cm


【答案】B


【解析】考查三角形的三边关系。


第三边应满足小于两边之和大于两边之差。故选B。





例题3





【题干】下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）


A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④


【答案】A


【解析】考查全等图形的性质。





例题4





【题干】如图，按规定，一块横板中AB、CD的延长线相交成85°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？





【答案】不符合规定，理由见解析。


【解析】解：不符合规定．如图，延长AB、CD交于点O，


∵△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，


∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°＜85°


∴不符合规定．








例题5





【题干】如图所示，（1）在图a中把正方形分成四个全等的三角形；（2）在图b中把正五边形分成五个全等的三角形；（3）在图c中把正六边形分成六个全等的三角形？（4）通过（1）（2）（3）的解答，你发现了什么?





【答案】过正n边形中心的对角线，就能得到n个全等三角形


【解析】解：（1）连接相对的两角，让两条对角线交叉，分成四个三角形；


（2）连接正五边形的所有相对的角的对角线就有5个全等三角形；


（3）连接过正六边形的中心的对角线，就能得到六 个全等三角形．


（4）过正n边形中心的对角线，就能得到n个全等三角形．





四 、课堂运用





【教学建议】


在学习过程中注意几类问题之间的联系与综合应用，要让学生认识到各个知识点并不是独立存在的，要能够将所学的内容融会贯通进行应用解题。





基础





1. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠C=________．


【答案】90°


【解析】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，


由三角形内角和可知：x+2x+3x=180°


解得：x=30°


∴∠C=3x=90°


2. 下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）


A. B. C. D.


【答案】A


【解析】考查三角形高的定义。


3. 如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．





【答案】见解析。


【解析】








巩固





1. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3= ．





【答案】90°。


【解析】由图可知，两个三角形全等。


故∠1+∠3=180°- 90°=90°


2. 把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来．





【答案】见解析


【解析】








3. 如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，


（1）求DE的长。


（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？


C


B


A


D


E





【答案】（1）3cm；（2）垂直，理由见解析。


【解析】解：(1)∵△ABD≌△EBC


∴DB=BC=6cm，BE=AB=3cm


∴DE=BD-BE=6-3=3cm


（2）∵△ABD≌△EBC


∴∠ABD=∠EBC


又∵A、B、C在一条直线上


∴∠ABD+∠EBC=180°


∴∠ABD=∠EBC=90°


∴DB与AC垂直





拔高





1如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s.





【答案】1或4


【解析】解：①当△BPE≌△CQP时，BP=CQ=2t，


∵BC=16cm，∴PC=BE=16-2t，


又∵AE=6cm，AB=20cm，


∴PC=BE=16-2t=14，


故t=1；


②当△BPE≌△CPQ时，BP=CP=2t，


∵BC=16cm，∴4t=16，故t=4.


所以t=1或4.


2. 野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮（如图所示），她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有（ ）．





A．4种 B．3种 C．2种 D．1种


【答案】B


【解析】根据翻身后饼也正好能落入锅中，考虑将原三角形分成两个三角形即可.如图，第一个三角形沿直角三角形作斜边上的中线切，第二个三角形在钝角处沿角的另一边切，第三个三角形在角处沿角的另一边切，而第四个无法分成两个等腰三角形，故她的选择最多有3种.





3. 已知：如图A，△ABC各角的平分线AD，BE，CF交于点O．


（1）试说明∠BOC=90°+∠BAC；


（2）如图B，过点O作OG⊥BC于G，试判断∠BOD与∠COG的大小关系（大于，小于或等于），并说明理由．





【答案】见解析。


【解析】（1）证明：∵OB、OC分别平分∠ABC，∠ACB，


∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，


∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB


=180°﹣（∠ABC+∠ACB）


=180°﹣（180°﹣∠BAC）


=180°﹣90°+∠BAC=90°+∠BAC；


（2）解：∠BOD=∠COG．理由如下：


∵△ABC各角的平分线AD，BE，CF交于点O，


∴∠ABO=∠ABC，∠BAO=∠BAC，∠OCG=∠ACB，


∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠OCG，


∵OG⊥BC于G，∴∠OGC=90°，


∴∠COG=90°﹣∠OCG，


∴∠BOD=∠COG．








课堂小结





三角形的定义；


三角形的三边关系；


三角形的内角和；


三角形中的特殊线段；


全等图形的定义和性质；


全等三角形的性质及应用。











扩展延伸








基础





1. 不一定在三角形内部的线段是( )


A.三角形的角平分线


B.三角形的中线


C.三角形的高


D.三角形的中位线


【答案】C


【解析】钝角三角形的高有两条在三角形外部；


直角三角形的高有两条是三角形的直角边。


故选C


2. 如图，在ΔABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是ΔBAC的角平分线，则∠CAD的度数为( )





A.40° B.45° C.50° D.55°


【答案】A


【解析】解：∠BAC=180°- 67°- 33°=80°


∵AD是ΔBAC的角平分线


∴∠CAD=40°


3. 图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．





【答案】见解析。


【解析】解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H，


对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；


对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；


∵两个五边形全等，


∴a=12，c=8，b=10，e=11，α=90°．





巩固





1.如图，已知△ABC中，AB=2，BC=4


（1）画出△ABC的高AD和CE；


（2）若AD=，求CE的长．





【答案】（1）详见解析；（2）CE=3．


【解析】（1）如图：





（2）∵S△ABC=×AD×BC=AB×CE，∴××4=×2×CE，∴CE=3．


2. 如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O。


(1)若∠ABC=40°，∠ ACB=50°，则∠BOC=_______


(2)若∠ABC+∠ ACB=lO0°，则∠BOC="________"


(3)若∠A=70°，则∠BOC=_________


(4)若∠BOC=140°，则∠A=________


(5)你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由。


【答案】(1)、135°；(2)、130°；(3)、125°；(4)、100°；(5)、∠BOC=90°+0.5∠A


【解析】解：考查角平分线的计算。


3. 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，


（1）求∠1，∠2，∠3的度数，（2）求∠α的度数。





【答案】(1) ∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°；（2）∠α＝80°


【解析】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；（3）运用外角求∠α的度数.


∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，


∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°


即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°


∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，


∴△ABE≌△ADC≌△ABC


∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD


∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°





拔高





1. 用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是 个．


【答案】3


【解析】考查三角形的三边关系。


2. 已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：





（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关 ；


（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；


（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．


【答案】见解析


【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；


（2）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②


∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：


∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B，又∵∠D=40度，∠B=36度，∴2∠P=400°+36°，∴∠P=38°；


（4）关系：2∠P=∠D+∠B．


由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①；由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②


+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1，∠D+2∠B=2∠P+∠B，即2∠P=∠D+∠B．





3. （1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；


（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，


①∠CAE= （含x的代数式表示）


②求∠F的度数．





【答案】(1)∠DAE=10°；（2）①72°﹣x°，②∠F=18°


【解析】考查三角形中的角度计算。


4.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两个螺丝间的距离的最大值为 ．





【答案】见解析


【解析】7，若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；


选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；6-5＜4＜6+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；


选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；


选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；


综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、三角形及三角形的内角和


2、三角形的三边关系


3、三角形的三线


4、全等三角形的概念及表示方法


5、全等三角形的性质


6、全等三角形的性质的应用
教学目标
1、理解三角形的相关概念.


2、能够按三角形的边和角对三角形进行分类，判断三角形的形状.


3、了解全等图形、全等多边形、全等三角形


4、掌握全等多边形性质与识别方法，全等三角形的性质.
教学重点
1、三角形边角的基础知识.


2、全等多边形的性质与识别方法；全等三角形的性质应用.
教学难点
1、理解三角形的角平分线、中线、高线都是线段而不是直线或线段.


2、平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.