初中数学北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件教案及反思

这是一份初中数学北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件教案及反思，共29页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第13讲


讲














探索三角形全等的条件


























概述





【教学建议】


本节的教学重点引导学生发现三角形全等的条件，鼓励学生相互交流发表自己的想法，从而得出当两个三角形的边和角满足哪些条件时可以判定三角形全等，通过作图分析加深学生的理解，并能够将三角形全等的性质和判定进行综合应用解决相关问题。





学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：


1.判定三角形全等的条件；


2.全等三角形的性质和判定的综合应用；


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


在探索三角形全等的条件时，要注意引导学生去发现两个三角形的边、角需要满足的条件，可让学生分组进行讨论，培养学生的动手能力和分析观察问题的能力。


在学生基本掌握判定三角形全等的条件之后，要让学生能够区分和联系全等三角形的性质和判定，形成完整的知识体系，对整体的几何证明、计算问题有更深入的理解，掌握解决几何综合题的思路和方法。





二、知识讲解








知识点1 三角形全等的条件





1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”；


2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”；


3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”；


4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”；


5.三角形的稳定性。





知识点2 综合应用





1.三角形的性质与判定；


2.尺规作图。





三、例题精析








例题1





【题干】不是利用三角形稳定性的是（ ）


A. 自行车的三角形车架


B. 三角形房架


C. 照相机的三角架


D. 矩形门框的斜拉条


【答案】C


【解析】照相机的三脚架构成的是立体图形，不是三角形。故选C.





例题2





【题干】如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：


A


B


C


D





（1）△ABD≌△ACD ；


（2）AD⊥BC；


（3）∠B=∠C ；


（4）AD是△ABC的角平分线．


其中正确的有（ ）．


A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个


【答案】D


【解析】由SSS得出△ABD和△ACD全等，∴AD⊥BC；∠B=∠C AD是△ABC的角平分线．


故选D





例题3





【题干】已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF





【答案】见解析。


【解析】证明：（1）∵AC∥DF


∴∠ACB＝∠F


在△ABC与△DEF中





∴△ABC≌△DEF








例题4





【题干】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．


写出图中全等的三角形，并选择其中一对进行证明．








【答案】见解析。


【解析】（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；


（2）∵AB∥CD， ∴∠1=∠2， ∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF， 即AE=FC，


在△ABE和△CDF中，


，


∴△ABE≌△CDF（AAS）．











例题5





【题干】已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD，且AB=CD，BF=CE．





求证：∠AEB=∠DFC．


证明：∵AB∥CD（已知），


∴∠B=∠C（ ）．


∵BF=CE（已知），


∴BF+______=CE+______，即BE=CF．


在△ABE和△DCF中，


∵


∴△ABE≌△DCF（ ）．


∴∠AEB=∠DFC．


【答案】见解析.


【解析】证明：∵AB∥CD（已知），


∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．


∵BF=CE（已知），


∴BF+ EF =CE+EF，即BE=CF．


在△ABE和△DCF中，


∵


∴△ABE≌△DCF（SAS）．


∴∠AEB=∠DFC．





四 、课堂运用





【教学建议】


在学习过程中，要让学生在充分理解四种判定方法的基础之上，选择合适的习题进行针对性练习，并且要让学生学会总结分析不同类型问题在解题方法上的异同，加深理解。





基础





1. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）





A. 三角形的稳定性


B. 两点之间线段最短


C. 两点确定一条直线


D. 垂线段最短


【答案】A


【解析】构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性。故选：A.


【答案】见解析。


【解析】证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE


∴△ABD≌△ACE(SSS)


∴∠BAD∠CAE


∵∠DAC=∠CAD


∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠CAD


即∠BAC=∠DAE.


3. 已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE．


求证：∠ADC=∠AEB





【答案】见解析。


【解析】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点


∴


又∵AB=AC


∴AD=AE


在△ADC与△AEB中，





∴△ADC≌AEB


∴∠ADC=∠AEB


4. 在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P.求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段。





【答案】见解析。


【解析】证明：在△ABF和△ACE中，


∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，AF=AE，


∴△ABF≌△ACE(SAS)，


∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等)，


∴BF=CE(全等三角形的对应边相等)，


∵AB=AC，AE=AF，


∴BE=CF，


在△BEP和△CFP中，


∵∠BPE=∠CPF，∠PBE=∠PCF，BE=CF，


∴△BEP≌△CFP(AAS)，


∴PB=PC，


∵BF=CE，


∴PE=PF，


∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF，BF=CE.





巩固





1. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃那么最省事的办法是带________去配．（ ）





A．① B．② C．③ D．①和②


【答案】C


【解析】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，由这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以由ASA来配一块一样的玻璃．故选C．


2. 如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）





A．45° B．55° C．60° D．75°


【答案】C


【解析】根据题意可得△ABD和△CBE全等，


从而得出∠BAP=∠CBE，


则∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．


3. 如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S= ．





【答案】50


【解析】解：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，


由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；


同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG，故FH=FA+AG+GC+CH=2+6+4+2=14，


然后利用面积的割补法和面积公式


S=（6+4）×14-2×4-6×2=50．


4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．





（1）求证：△ADC≌△CEB．


（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．


【答案】见解析


【解析】（1）证明：如图，∵AD⊥CE，∠ACB=90°，


∴∠ADC=∠ACB=90°，


∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等）．


在△ADC与△CEB中，


，


∴△ADC≌△CEB（AAS）；


（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，则AD=CE=5cm，CD=BE．


如图，∵CD=CE﹣DE，


∴BE=AD﹣DE=5﹣3=2（cm），即BE的长度是2cm．





拔高





1. 工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C作射线OC.由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）





A. AAS B. SAS C. ASA D. SSS


【答案】D


【解析】解：∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，


∴△MOC≌△NOC(SSS).


故选D.


2. 如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．试说明AD+AB=BE．





【答案】见解析。


【解析】∵AD⊥AC，BE⊥AC


∴∠A=∠EBC=90° ∠ACD+∠D=90°


∵∠DCE=90°


∴∠ACD+∠ECB=90°


∴∠D=∠ECB


又∵CD=CE


∴△ADC≌△BCE（AAS）


∴AC=BE AD=BC


∵AC=AB+BC


∴BE=AB+AD


3. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别为AB、BC的中点，AE与CD相交于点H，CF⊥AE交AB于点F，垂足为G，连结EF、FH和DG．





（1）求证：△ACH≌△CBF；


（2）求证：AE＝EF＋FC；


【答案】见解析。


【解析】证明：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，


∴∠CAB＝∠B＝45°．


又∵D为AB中点，∴∠ACD＝∠BCD＝45°．


∴∠ACH＝∠B


∵CG⊥AE，∴∠CAH＋∠ACG＝90°


又∠BCF＋∠ACG＝90°


∴∠CAH＝∠BCF


∴△ACH≌△CBF


（2）由（1）得CH＝BF，∠HCE＝∠B＝45°


又E为BC中点，∴CE＝BE


∴△HCE≌△FBE


∴HE＝FE


由（1）得AH＝CF


∴AE＝AH＋HE


∴AE＝CF＋EF


4.已知：的高所在直线与高所在直线相交于点F。


（1）如图①，若为锐角三角形，且过点作交直线于点，求证：


（2）如图②，若为钝角三角形，且（1）中的其他条件不变，则之间满足怎样的数量关系？并给出证明。





【答案】见解析


【解析】证明：先证≌，








（2）


同（1）可证≌，，又可证











课堂小结





1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”；


两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”；


两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”；


两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”；


2.全等三角形的性质与判定。











扩展延伸








基础





1. 王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图。要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条?()


A. 0根


B. 1根


C. 2根


D. 3根


【答案】B


【解析】加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，


故这种做法根据的是三角形的稳定性。


2. 如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠D=∠E．





【答案】见解析。


【解析】证明：∵C是AB中点，


∴AC=BC，


在△BCE和△ACD中，


∵AC=BC，CD=CE，AD=BE，


∴△BCE≌△ACD（SSS），


∴∠D=∠E．


3. 如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD = ∠BCE．求证：∠A=∠D．








【答案】见解析。


【解析】证明：∵∠ACD=∠BCE，


∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，


∵AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，


∴△ABC≌△DEC（SAS），


∴∠A=∠D．





巩固





1. 如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为 ．





【答案】3


【解析】解：∵ AD⊥BC，


∴∠ADB=∠ADC=90°，


又∵∠ABC=45°，


∴∠BAD=∠ABD=45°，


∴AD=BD，


∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，


∴∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，


∴∠FBD=∠CAD，


在△FBD和△CAD中


∠CAD=∠DBF，∠FDB=∠ADC=90°，AD=BD，


∴△ADC≌△BDF，


∴DF=CD=3．


2. △ABC的两条高AD、BE交于点H，若BH=AC，则∠ABC=


【答案】45°或135°


【解析】解：有2种情况，如图（1），（2），


∵∠BHD=∠AHE，又∠AEH=∠ADC=90°，


∴∠DAC+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，


∴∠AHE=∠C，


∴∠C=∠BHD，


∵BH=AC，∠HBD=∠DAC，∠C=∠BHD，


∴△HBD≌△CAD，


∴AD=BD．


如图（1）时∠ABC=45°；


如图（2）时∠ABC=135°．


∵AD=BD，AD⊥BD，


∴△ADB是等腰直角三角形，


∴∠ABD=45°，


∴∠ABC=180°-45°=135°，


故答案为：45°或135°．





3. 如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．








（1）求证：△ADE≌△ABF．


（2）求△AEF的面积．


【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，


∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，


∵E、F为DC、BC中点，


∴DE=DC，BF=BC， ∴DE=BF，


∵在△ADE和△ABF中，，


∴△ADE≌△ABF（SAS）；


（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，


且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，


∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2=6


4. 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．





求证：AB=CD.


分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．


现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．





【答案】见解析


【解析】方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G，∴∠F=∠CGE=90°．


又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴△BFE≌△CGE．∴BF=CG．


在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，


∴△ABF≌△DCG．∴AB=CD．


方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F，∴∠F=∠BAE．


又∵∠ABE=∠D，∴∠F=∠D．∴CF=CD．


∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．


∴AB=CF．∴AB=CD．


方法三：延长DE至点F，使EF=DE，又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，∴△BEF≌△CED．


∴BF=CD，∠D=∠F．又∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F． ∴AB=BF．∴AB=CD．





拔高





1. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）





A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


【答案】C


【解析】根据三角形全等的判定定理可得：符合条件的点P为：、和三种情况


2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．





（1）试证明：AD∥BC；


（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．


【答案】见解析


【解析】解：（1）证明：在△ABD和△CDB中，


∵AD=BC，AB=CD，BD=DB，


∴△ABD≌△CDB，


∴∠ADB=∠CBD，


∴AD∥BC；


（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，


当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则DE=BF，DG=BG，∴，6-BG=BG，


∴t=1，BG=3，∴v=3；


若△DEG≌△BGF，则DE=BG，DG=BF，∴，∴（舍去）；


当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则DE=BF，DG=BG，


∴，6-BG=BG，∴t=2，BG=3，∴v=；


若△DEG≌△BGF，则DE=BG，DG=BF，∴，


∴，∴v=1．


综上，点G的速度为3或或1．


3. 在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．


（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5．


①求证：AF⊥BD，


②求AF的长度；


（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．求证：AF⊥BD；


（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．


图1 图2 图3





【答案】见解析


【解析】解：（1） = 1 \* GB3 ①证明：如图1，∵AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，


∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AF⊥BD．


图3





= 2 \* GB3 ②∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴BD=13，


∵S△ABD=AD·BC=BD·AF，∴AF=．


（法2：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴AE=BD=13，BE=7，设EF=x，


∵∠BFE=90°，∴BF2=BE2-EF2，BF2=AB2-AF2，∴72-x2=288-（13+x）2，


∴x=，∴AF=13+=．）


（2）证明：如图4，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，


∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，


∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD．


（3）∠AFG=45°．


图4





如图4，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，


∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，∵S△ACE=AE·CN，


S△BCD=BD·CM，∴CM=CN，


∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，


∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．


（法2：过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，∵CM⊥BD，CN⊥AE，


∴∠BMC=∠ANC=90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，∵∠BMC=∠ANC=90°，∠1=∠2，


AC=BC，∴△BCM≌△ACN，∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，


∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．





4. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点。


（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。


①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；


②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？


（2）若点Q以①②的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？





【答案】见解析


【解析】解：（1）①全等


证明：当1秒钟时有BP=CQ=3，由于BC=9，∴PC=6，而AB=AC，∴∠B=∠C，


在△DBP和△CQP中





∴△BPD≌△CQP


②当点Q的速度是4厘米/秒时△BPD≌△CPQ。


证明：要使△BPD≌△CPQ，则BP=CP，故当P运动1.5秒时才有可能。而此时，CQ=1.5×4=6厘米。从而CQ=BD。 而∵AB=AC，∴∠B=∠C。


在△BPD和△CPQ中





∴△BPD≌△CPQ。


（2）△ABC的周长为33厘米，所以设经过t 秒后P和Q第一次相遇，则4t-3t=12+12，∴t=24


此时P点走过的路程为24×3=72（厘米）。而72÷33=2……6，


所以点P与点Q第一次在△ABC的BC边上相遇。


5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△，连接．设交AB于D，分别交AB、AC于E、F．


（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△全等除外）；


（2）当△是等腰三角形时，求α；





【答案】见解析


【解析】解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等；


以说明△CBD≌△CA1F为例：


理由：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°


∴∠A1CF=∠BCD


∵A1C=BC


∴∠A1=∠CBD=45°


∴△CBD≌△CA1F；


（2）在△CBB1中 ∵CB=CB1 ∴∠CBB1=∠CB1B=1/2（180°-α）


又△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ABC=45°


B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD


∵∠B1DB=45°+α


∠B1BD=∠CBB1-45°=1/2（180°-α）-45°=45°-1/2α


∴45°+α=45°-α


∴α=0°（舍去）；


②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D；


③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=1/2（180°-α），α=30°


由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；








教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、三角形全等的条件——边边边与三角形的稳定性


2、三角形全等的条件——角边角（ASA）与角角边（AAS）


3、三角形全等的条件——边角边（SAS）


4、三角形全等条件的灵活运用


5、三角形综合问题
教学目标
1、掌握三角形全等的“边边边”（“SSS”）判定方法，了解三角形的稳定性，会运用”SSS”判定方法证明两个三角形全等以及解决一些实际问题.


2、经历探索三角形全等的条件的过程，通过动手实践探究问题、发现问题，培养动手实践、探究、归纳的能力和发展推理、论证合作能力.
教学重点
掌握三角形全等的条件“SSS”，并能利用它判定两三角形是否全等.
教学难点
探索思路的选择和探索三角形全等的“SSS”条件的过程.
2.已知：如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE。求证：∠BAC=∠DAE。