北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形教案

这是一份北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形教案，共23页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第16讲


讲














简单的轴对称图形及利用轴对称进行设计


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生在理解轴对称图形的概念和性质的基础上，去认识几种常见的轴对称图形并掌握相关的性质和应用，也要学会利用轴对称来设计一些简单的图案。





学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1.等腰三角形的性质；


2.中垂线和角平分线的性质；


3.如何设计轴对称图形。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关等腰三角形的常见问题中，要特别注意“三线合一”性质的应用，要让学生通过作图去理解哪三条线“合一”，并要掌握等边三角形和等腰三角形的性质的区别和联系；


在中垂线和角平分线相关问题中，要注意性质的应用及尺规作图问题。在这部分开始要让学生注意几何问题中的辅助线的添加和作用，掌握基本的几何问题解题思路。





二、知识讲解








知识点1 常见的轴对称图形





1.等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形；


等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；


等腰三角形的两个底角相等；


2.等边三角形；


3. 线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线时它的一条对称轴.


垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.


线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.


4. 角的角平分线：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.


角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.





知识点2 轴对称图案的设计





设计简单的轴对称图案；


尺规作图。





三、例题精析








例题1





【题干】等腰三角形一个角等于100，则它的一个底角是


【答案】40°


【解析】∵因为等腰三角形一个角等于100，所以等腰三角形的顶角一定是100，


所以等腰三角形的底角=（180°-100°）÷2=40°．





例题2





【题干】如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 度．





【答案】240


【解析】如图，∵等边三角形


∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣120°=240°．


故答案为240．











例题3





【题干】作图题：（要求保留作图痕迹，不写做法）





（1）作△ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E，交BC于点F）；


（2）连结BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周长.


【答案】见解析。


【解析】如图所示，


∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，


∵AB=6，BC=10，∴△ABE的周长=6+10=16．








例题4





【题干】如图：AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线DE交BC于D，求∠ADC的度数．





【答案】60°


【解析】解：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=120°


∴∠B=∠C=30°


又∵DE垂直平分AB


∴AD=BD


∴∠B=∠BAD=30°


∴∠ADC=60°





四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师要注意引导学生自主观察发现各种图形的异同之处以及与轴对称图形的联系，要掌握常见的辅助线的做法，并结合全等三角形解决综合应用问题。





基础





1. 在下列说法中，正确的是（ ）


A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形


B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形


C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形


D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形


【答案】B


【解析】区别轴对称图形和全等图形。选B。


2. 如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=70°，则∠2的度数是（ ）





A．20° B．35° C．40° D．70°


【答案】C


【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠1=70°


∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD=70°


∴∠2=180°-70°-70°=40°


3. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC＝8。求△AEG周长。





【答案】8


【解析】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，


∴AE=BE，


∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，


∴AG=GC，


△AEG的周长=AE+EG+GA=BE+EG+GC=BC=8．


所以△AEG的周长为8．





巩固





1. 下列语句中正确的个数有（ ）


①角的对称轴是角的平分线．


②两个能全等的图形一定能关于某条直线对称．


③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴．


④两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧．


A．1 B．2 C．3 D．4


【答案】A


【解析】：①应为角的对称轴是角的平分线所在的直线，故本小题错误；


②应为两个能全等的图形不一定能关于某条直线对称，故本小题错误；


③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；


④应为两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧或在对称轴上；


综上所述，正确的只有③共1个．


故选A．


2. 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求证∠CAF=∠B.





【答案】见解析


【解析】证明：∵EF为AD中垂线


∴AF=DF


∴∠2+∠3=∠4，


又∠4=∠1+∠B


∴∠2+∠3=∠1+∠B


∵∠1=∠2


∴∠3=∠B


即∠CAF=∠B.


3.已知△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1,l2,l3（如图）.求证l1,l2,l3三线共点.





【答案】见解析


【解析】证明：设l1,l2交于O，连OA，OB，OC.∵l1为AB中垂线


∴OA=OB,同理OB=OC ∴OA=OC ∴O在AC中垂线上.即O在l3上，∴，l1l2l3共点.


4.如图，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.





【答案】见解析


【解析】解： ∵BD=5 BC=20


在DC上取DE=BD=5，连AE，


∵AD⊥BE，BD=DE


∴AD为BE中垂线


∴AB=AE


∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C


∴∠C=∠2 AE=EC


∴AB=EC


又∵BD=DE=5 BC=20


∴EC=10


∴AB=10





拔高





1. 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( )


A.等腰三角形 B.等边三角形


C.直角三角形 D.等腰直角三角形


【答案】C


【解析】解：





如图 P为中垂线交点，且在AB上，连PC，则PA=PB=PC.


∴∠1=∠A ∠2=∠B. ∠1+∠2=∠A+∠B==90°


∴∠ACB=90° 故选C


2. 如图，△ABC中∠A=120°， AB=AC，AB的中垂线交AB于D，BC于E则= .





【答案】


【解析】∠A=120° AB=AC ∴∠B=∠C=30°


又DE为中垂线AE ∴EA=EB ∠EBA=∠EAB=30°


∠EAC=90° ∠C=30°


∴AE=BE=EC ∴=


3. 如图，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC＞2AB.





【答案】见解析。


【解析】证明：延长BA至F，使BA=AF，连FD，AD∥BC,AB=AC ∠FAD=∠ABC=∠ACB=∠DAC.


AF=AC △FAD≌△CAD FD=DC，FD+DB＞FB


∴DB+DC＞2AB.


4. 如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）





A、120° B、135° C、150° D、45°


【答案】B


【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，


∵AD=DE=CE，


∴AD=DE=CE=BC，


∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，


∵∠DEC=90°，


∴∠EDC=∠ECD=45°，


设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，


∴∠ADE=180°-2x，∠BCE=180°-2y，


∴∠ADC=180°-2x+45°=225°-2x，∠BCD=225°-2y


，∴∠BAD=180°-（225°-2x）=2x-45°，


∴2x-45°=225°-2y，


∴x+y=135°，


∴∠AEB=360°-135°-90°=135°；








课堂小结





等腰三角形的性质；


等边三角形的性质；


线段的垂直平分线的性质；


角平分线的性质；


轴对称图案的设计。








扩展延伸








基础





1. 下列说法正确的是


A．轴对称图形的对称轴只有一条


B．对称轴上的点没有对称点


C．角的对称轴是它的角平分线


D．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称


【答案】D


【解析】A错例如：圆有无数条对称轴，


B错对称轴上的点有对称点是它本身，


C错因为角的平分线是一条射线，而对称轴是直线，


故选D.


2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是 。





【答案】5


【解析】S△ABD=12×5×2=5


3. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．





（1）求∠F的度数；


（2）若CD=2，求DF的长．


【答案】（1）30°；（2）4


【解析】解：（1）解：∵△ABC是等边三角形，


∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，


∵AB∥DE，


∴∠EDC＝∠B＝60°，∠CED＝∠A＝60°，


∵EF⊥DE，


∴∠FED＝90°，


∴∠FEC＝30°，


∵∠ECD＝∠F＋∠FEC，


∴∠F＝30°；


（2）由（1）可知：△EDC是等边三角形，


∵CD＝2，


∴ED＝2，


在Rt△FED中，∠F＝30°，


∴DF＝2ED＝4.


4.已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．





【答案】见解析。


【解析】证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，


∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=∠ABC=30°．


∵CD=CE，


∴∠CDE=∠E．


∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，


∴∠CDE+∠E=60°．


∴∠CDE=∠E=30°，


∴∠DBE=∠DEB=30°，


∴BD=DE．





巩固





1. 如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠AEC的度数是 ．





【答案】115°


【解析】解：根据角平分线可得∠EBD=25°，


根据中垂线的性质可得BE=CE，即∠C=∠EBD=25°，


则∠AEC=∠C+∠EDC=25°+90°=115°.


2. 已知△ABC是等边三角形，∠ADC=120°，AD=3，BD=5，则边CD的长为 ．

















【答案】2


【解析】解：延长AD到点E，使DE=CD，连接CE．


∵∠ADC=120°


∴∠CDE=60°


∴△CDE是等边三角形


∴∠DCE=60°，CD=CE


∵∠ACB=60°


∴∠BCD=∠ACE


∵BC=AC


∴△BCD≌△ACE


∴BD=AE


∵BD=5，AD=3


∴DE=2


∴CD=2．


故答案为：2．





3. 如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．





【答案】60


【解析】∵等边△ABC，


∴∠ABD=∠C，AB=BC，


在△ABD与△BCE中，


，


∴△ABD≌△BCE（SAS），


∴∠BAD=∠CBE，


∵∠ABE+∠EBC=60°，


∴∠ABE+∠BAD=60°，


∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，


∴∠APE=60°．





拔高





1. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA的度数为 °．





【答案】42°


【解析】∵△ABC三个内角的平分线交于点O，


∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠CAO，∠BCO=∠ACO，


∵AD=A0，


∴∠D=∠AOD，


∴∠BAO=2∠D，


设∠D=α，


则∠BAO=2α，∠BAC=4α，


在△DBO与△CBO中，





∴△DBO≌△CBO，


∴∠BOC=∠D=α，


∴∠BCA=2α，


∴54+4α+2α=180，


∴α=21，


∴∠BCA=42°


2. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）





【答案】B


【解析】解：过P作PM∥BC，交AC于M；


∵△APM是等边三角形；


又∵PE⊥AM，


∴AE=EM；（等边三角形三线合一）


∵PM∥CQ，


∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；


又∵PA=PM=CQ，


∴△PMD≌△QCD；


∴CD=DM；


∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．





3. 从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 度．


【答案】72°或．


【解析】解：（1）如图（1），


∵AB=AC，AD=BD=BC，


∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，


∴∠BDC=2∠A，


∴∠ABC=2∠A，


∵∠A+∠ABC+∠C=180°，


∴5∠A=180°，


∴∠A=36°．


∴底角∠C=2∠A=72°，


（2）如图（2）


AD=BD，BC=CD，设∠A=β，则∠ABD=β，


∴∠1=2β=∠2，


∴∠C=3β，


∴7β=180°，


∴β=；


即∠C=×（360﹣）=，


∴原等腰三角形纸片的底角为72°或．





4. 如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为______.





【答案】．











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、等腰三角形的性质


2、等边三角形的性质


3、线段的垂直平分线的性质及其应用


4、角平分线的性质及其应用
教学目标
1、认识等腰三角形，并能够掌握等腰三角形的性质.


2、掌握线段垂直平分线的性质并会做线段的垂直平分线.


3、掌握角的角平分线的性质并会做角的角平分线.


4、欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计.
教学重点
1、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.


2、灵活运用线段垂直平分线解决最小距离问题..
教学难点
1、利用轴对称进行一些图案设计.


2、灵活运用线段垂直平分线解决最小距离问题.

A．
B．
C．
D．
不能确定
【解析】∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，


∴∠BA1A===80°，


∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，


∴∠CA2A1===40°；


同理可得，


∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，


∴∠An=．


故答案为：．