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【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第2讲 有余数的除法 人教版(含答案)
展开第二讲 有余数的除法
第一部分:趣味数学
小朋友们,笔算加法、减法、乘法都要从个位算起,可是笔算除法却要从最高位算起,你想知道这是怎么一回事儿吗?相信你看了下面的资料,一定会有所了解的!
除法为什么要从高位算起?
假如要把9个苹果平均分给3个小朋友,我们可以先拿出3个,1人一个;再拿出3个,1人一个;还剩下3个,1人一个,正好分完。把上述分的过程用连减算式表示出来就是:9-3-3-3=0,减了3次,正好减完。如果用除法算式表示就是9÷3=3。
所以,除法计算也可以用连减法来求商,把被除数作为被减数,除数作为相同的减数,连减的最多次数就是商。
可是,如果用减法计算369÷3,一共要减去123个3,实在是太麻烦了,改用除法计算多简便啊!
原来,除法从高位算起是为了减得更快些,更快地求出商。
小朋友们,你明白了吗?
有余除法:把一些书平均分给几个小朋友,要使每个小朋友分得的本数最多,这些书分到最后会出现什么情况呢?一种是全部分完,还有一种是有剩余,并且剩余的本数必须比小朋友的人数少,否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小,这就是有余数除法计算中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数,如果余数已知,就可以确定除数,然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中,要记住:(1)余数必须小于除数;(2)被除数=商×除数+余数。
第二部分:奥数小练
【例题1】 [ ]÷6=8……[ ],根据余数写出被除数最大是几?最小是几?
【思路导航】除数是____,根据____________,余数可填_____________.根据____________,又已知商、除数、余数,可求出最大的被除数为6×8+5=53,最小的被除数为____________。列式如下:______________________
答:被除数最大是53,最小是______。
练习一:
(1)下面题中被除数最大可填________,最小可填_______。[ ]÷8=3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________,最小可填_______。[ ]÷4=7……[ ]
(3)下题中要使除数最小,被除数应为________。 [ ]÷[ ]=12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]=8……[ ]中,被除数最小是几?
【思路导航】题中只告诉我们商是8,要使被除数最小,那么只要除数和余数小就行。余数最小为______,那么除数则为______。
根据这些,我们就可求出被除数最小为:8×______+______=_______。
练习二:
(1)下面算式中,被除数最小是几?
①[ ]÷[ ]=4……[ ] ②[ ]÷[ ]=7……[ ]
③[ ]÷[ ]=9……[ ]
(2)下面算式中商和余数相等,被除数最小是几?
①[ ]÷[ ]=3……[ ] ②[ ]÷[ ]=6……[ ]
(3)算式[ ]÷8=[ ]……[ ]中,商和余数都相等,那么被除数最大是几?
【例题3】算式28÷[ ]=[ ]……4中,除数和商分别是_____和______。
【思路导航】根据“被除数=商×除数+余数”,可以得知“商×除数=被除数-余数”,所以本题中商×除数=28-4=24。这两个数可能是1和24,____和____,____和____,____和____,又因为余数为4,因此除数可以是24,12,8,6,商分别为___,___,____,____。
答:除数和商分别是24,1;____,____;____,____;____,____。
练习三:
(1)下面算式中,除数和商各是几?
①22÷[ ]=[ ]……4 ②65÷[ ]=[ ]……2
③37÷[ ]=[ ]……7 ④48÷[ ]=[ ]……6
(2)149除以一个两位数,余数是5,请写出所有这样的两位数。
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(3)算式[ ]÷4=[ ]……[ ]中,商和余数相等,被除数可以是哪些数?
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【例题4】算式[ ]÷7=[ ]……[ ]中,商和余数相等,被除数可以是哪些数?
【思路导航】题目中告诉我们除数是7,商和余数相等,因为余数必须比除数小,所以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。
7×1+1=8 7×2+2=16 7×3+3=24
7×4+4=32 7×5+5=40 7×6+6=48
答:被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习四:
(1) 下列算式中,商和余数相等,被除数可以是哪些数?
①[ ]÷6=[ ]……[ ] ②[ ]÷5=[ ]……[ ]
③[ ]÷4=[ ]……[ ] ④[ ]÷3=[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15,商和余数相等,请你写出五个这样的除法算式。
(3) 算式[ ]÷9=[ ]……[ ]中,商和余数相等,被除数最大是____。
【例题5】算式[ ]÷[ ]=[ ]……4中,除数和商相等,被除数最小是几?
【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等,因为余数必须比除数小,所以除数必须比4大,但其中要求最小的被除数,因而除数应填_______,商也是______。由算式____________________,所以被除数最小是__________。
练习五:下面算式中,除数和商相等,被除数最小是几?
(1)[ ]÷[ ]=[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]=[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]=[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]=[ ]……9
(5)[ ]÷[ ]=[ ]……7
第三部分:数学史话
除法的历史
想知道古人是怎样认识除法的吗?让我们了解一下吧。
商的本义是古代滴漏上计时的刻度。商的其他字义也是由此引申而来的。《汉书·哀帝纪》中记载:“漏刻以百二十为度。即:旧漏昼夜其百刻,今增其二十。”意思是说,每支刻箭一百度,而每一度都是相等的,等于说把一支刻箭平均分成100份,得出每一度的长度,就叫做商。算术中除法运算的得数叫商,就是由漏箭的刻度引申而来。
四则运算的起源
小朋友们,我们已经会进行四则运算了,你知道他们的来历吗?
四则运算(Four Arithmetic Operations),即加减乘除,是数学最基本的运算。四则运算的起源很早,几乎在数学产生时就有了。如,5写成罗马数字Ⅴ,6写成罗马数字Ⅵ,就是5加1的意思。那你知道罗马数字Ⅳ是几吗?没错,就是4,即5减1的意思。而在中国四则运算很早就有了,战国(前476-前221年)时代的李悝编写的一部有关法律方面的著作——《法经》中,就有加、减、乘、除等运算的事例:“一个农夫家里有五口人,种了一百亩田,每年每亩收获一石(dàn)半,共收一百五十石粟,去掉十分之一的税十五石,余下一百三十五石;食粮每人每月一石半,五个人一年实九十石粟,余下四十五石。每石值三十钱,一共是一千三百五十。除了宗祠祭祀用钱三百外,余下一千零五拾。穿衣每人要三百钱,五个人一年实一千五百,还缺四百五十钱。”
尽管四则运算起源极早,但发展却不平衡,特别是在采用非位置制的地方,进行四则运算,尤其是计算乘法与除法往往十分麻烦。例如:235×4这样简单的运算,如果运用罗马数字运算就是难题了。而四则运算的种种符号是从15世纪才开始逐渐使用的。(详情参照第二单元数学史话)
参考答案:
练习一:
(1)被除数最大可填26,最小可填25。
(2)被除数最大可填34,最小可填33。
(3)下题中要使除数最小,被除数应为64。
练习二:
(1)①被除数最小是 9
② 被除数最小是15
③被除数最小是19
(2)①被除数最小是 10
②被除数最小是37
(3)被除数最大是71
练习三:
(1)下面算式中,除数和商各是几?
①22÷[ 6 ]=[3 ]……4 或者22÷[9 ]=[2 ]……4
②65÷[ 7 ]=[ 9 ]……2或者65÷[ 9 ]=[ 7 ]……2
③37÷[ 10 ]=[3]……7
④48÷[ 7 ]=[ 6 ]……6
(2)这样的两位数有12或者24。
(3)被除数可以是:17 、18、19
练习四:
(1) ①被除数可以是35、28、21、14、7。
② 被除数可以是24、18、12、6。
③被除数可以是15、10、5。
④被除数可以是8、4。
(2)16÷15=1……1;32÷15=2……2;48÷15=3……3;64÷15=4……4;
80÷15=5……5
(3) 被除数最大是__80__。
练习五:
(1)被除数最小是55
(2)被除数最小是89
(3)被除数最小是19
(4)被除数最小是109
(5)被除数最小是71