【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第1讲 尾数和余数 人教版（含答案）
展开第一讲 尾数和余数
第一部分：趣味数学
兄弟分绢
今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数。大兄谓二弟曰：“我得汝等各半，得满七点九匹。”中弟日：“我得兄弟绢各半，得满六点八匹。”小弟日：“我得二兄绢各半，得满五点七匹。”问兄弟本持绢各几何?——摘自《张邱建算经》。
据考证《张邱建算经》成书时代是在5世纪中期，是北魏时期数学家张邱建著。《张邱建算经》卷中之尾卷下之首残缺，流传到现在的有92个问题，内容继承了《九章算术》的数学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。卷下最后一题是有名的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。
赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起就有7.9匹。”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟绢的一半，与我有的绢合在一起是6.8匹。”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起是5.7匹。”问兄弟三人原来各有绢多少匹?
分析：7.9匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半；
6.8匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半；
5.7匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部；
那么，7.9+6.8+5.7就包括大哥的绢2倍+二哥绢2倍+三弟的绢2倍；
所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹），
而7.9 × 2就包括大哥的绢2倍+二哥绢全部+三弟的绢全部
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。
同理：
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。
解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）
第二部分：奥数小练
一、知识要点
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练
【例题1】 写出除213后余3的全部两位数。
【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42。一共有7个两位数。
练习一：
1.写出除109后余4的全部两位数。
2.178除以一个两位数后余数是3。适合条件的两位数有哪些？
- 写出除1290后余3的全部三位数。
【例题2】 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？
【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；
（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二：
1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？
2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？
【例题3】 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。
（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1。余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
练习三：
1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？
2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
3.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？
【例题4】 把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
【思路导航】因为≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。
练习四：
1.把化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2.写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
3.有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
【例题5】 555…55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？
【思路导航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。
从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。2001÷6=333……3.所以，当商是整数时，余数是4。
练习5：
1.444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
2.444…4÷74[200个4]，当商是整数时，余数是几？
3.当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]
（2）888…8÷7[200个8]
（3）111…1÷7[50个1]
第三部分：数学史话
“除号”的由来
在很早很早以前，古巴比伦人就用过“倒数表”把除数表示成六十进位制的小数，通过乘以除数的倒数来做除法。
关于除法的符号，阿拉伯人曾用过在两个数之间加一条短线的方法表示相除，1631年，数学家奥特雷德也曾设想过用符号“：”表示除法，但没有推广开来。
数学上正式把目前的除号作为除法运算符号的人，是瑞士数学家哈纳。哈纳在计算时，遇到把一个整数分成几份的问题，却没有恰当的符号表示这种算法，于是他把阿拉伯人表示除法的小短线和奥特雷德的除法记号“：”合二为一，哈纳用一条横线段“-”把两个圆点“：”从中间分开，产生了表示除法的新记号，就是现在的除号。
1659年，哈纳在苏黎士出版的《代数学》中，正式把现在的除号作为除法运算的符号。
参考答案：
练习一：
1.35、21、15
2.25和35
3.143、117、429
练习二：
1.1
2.5
3.6
练习三：
1.4
2.0
3.7
练习四：
1.0
2.1
3.0
练习五：
1.4
2.4
3.（1）2 （2）5 （3）4
