高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系本节综合与测试一课一练

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系本节综合与测试一课一练，共6页。试卷主要包含了5　空间中的垂直关系，线线垂直，直线与平面垂直，直线和平面所成的角，二面角的有关概念，平面与平面垂直，线面角、二面角求法等内容，欢迎下载使用。



1.线线垂直


如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直.


2.直线与平面垂直


(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______.直线l叫做______________，平面α叫做______________.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________.


(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直.


推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.


(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________.


3.直线和平面所成的角


平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角.


一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.任一直线与平面所成角θ的范围是____________.


4.二面角的有关概念


(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角.


(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的范围是__________.


5.平面与平面垂直


(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直.


(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直.


(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直.





设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，当m⊂α，n⊂β时，下列命题正确的是( )


A.若m∥n，则α∥β B.若m⊥n，则α⊥βC.若m⊥β，则m⊥n D.若n⊥α，则m⊥β


设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )


A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件


在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )


A.30° B.45° C.60° D.90°


如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是________.


在正方体ABCD­A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则





①四边形BFD′E一定是平行四边形；


②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.


以上结论正确的为____________.(写出所有正确结论的编号)





类型一 线线垂直问题


如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.





(1)证明：AA1⊥BD；


(2)证明：CC1∥平面A1BD.


(eq \a\vs4\al(2013·江苏))如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.





求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.


类型二 线面垂直问题


如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.





(1)求证：CE⊥平面PAD；


(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝eq \r(2)，∠CDA＝45°，求四棱锥P­ABCD的体积.


(eq \a\vs4\al(2014·浙江))如图，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝eq \r(2).





(1)证明：AC⊥平面BCDE；


(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.


类型三 面面垂直问题


如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.





(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；


(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.


如图，在三棱锥V­ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0