数学六年级上册数的整除1.5 公因数与最大公因数优秀学案

第一章 数的整除

1.5 公因数与最大公因数

1.掌握公因数与最大公因数的概念与定义。

2.能熟练求取两个正整数的公因数和最大公因数。

3.了解求三个正整数的最大公因数的方法。

4.知道互素的概念。

5.会用“更相减损法”求取两个较大数的最大公因数。

知识点1：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数（common factor）,其中一个最大的数叫做这几个数的最大公因数（greatest common factor）。    

例1.一个数既能整除4又能整除6，这个数最大是（  ）

A. 1                 B. 2                 C. 12                 D.24

例2.16和28的公因数有（  ）

A.1个               B.2个               C.3个                D.4个

例3. 8和12的公因数是          ，共有的素因数         ，最大公因数是           。

知识点2：求取两个数最大公因数的方法：

例：求18和30的最大公因数

（1）枚举法（列举法）

18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18;

30的因数有：1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30;

18和30的公因数有1，2，3，6；  18和30的最大公因数是6。

（2）分解素因数法：

18=2×3×3

30=2×3×5

可以看出，18和30的全部公有素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30 的最大公因数。

即求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。

2）短除法：

    2      18      30                            

     3     9       15                                   

           3       5                                                                                             

18和30的最大公因数是2×3=6              

例4.小明家装修地板，客厅的地面是长6米，宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有30×30、40×40、60×60、80×80（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种尺寸呢？

知识点3：求三个正整数的最大公因数

可以利用短除法来求三个正整数的最大公因数，但是每次除去的因数需是三个正整数所共有的。

例：求12、18和24的最大公因数

    2        12    18    24   

      3      6     9     12

             2     3     4

所以12、18和24的最大公因数是2×3=6

例5.求出下面各组数的最大公因数

（1）14、28和56                              （2）15、30 和21

知识点4： （1）如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。

           （2）两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。

           （3）两数互质的几种常见情况：连续自然数、连续奇数、两个质数等。

例6.判断下列说法正误

（1）两个合数之间不可能互质。                         （  ）

（2）互质的两个数没有公因数。                         （  ）

（3）互质的两个数最大公因数是1。                       （  ）

（4）两个整数的最大公因数一定比任意一个数都要小。     （  ）

例7.已知a，b两个正整数，其中a是b的倍数，那么a和b之间的最小公因数是        ；

最大公因数是         。

知识点5：更相减损法

中国古代的数学著作《九章算术》在对分数约分这里提到了“更相减损法”，该方法用于分数约分（以后的章节会学习到），其对于两个较大数求取最大公因数还是有借鉴意义的。

书中是这样描述的：“可半者半之，不可半者。副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”将其翻译成现代语言就是：“如果分子、分母是偶数，那么分子、分母都除以2；如果分子分母不全是偶数，那么对于分子、分母，总是以大的数减去小的数，反复进行，直到两个数相等；最后将原来的分数的分子、分母同时除以那个等数。”

回归到本章节的内容，以132和143为例，求取他们两个数的最大公因数，一眼看上去，也不知道公因数到底有哪些，更别说公因数了。故而便可采取上述方法：

因为143是奇数，不可半之，所以（132，143）→（132，11）→（121，11）→（110，11）→（99，11）→（88，11）→（77，11）→（66，11）→（55，11）→（44，11）→（33，11）→（22，11）→（11，11）。即132和143的最大公因数是11。其中132=11×12，143=11×13。

例8.求下列数的最大公因数

（1）187和51          （2）169和91          （3）209和247          （4）621和161           

随堂练习

1.下列说法中错误的是（  ）

A.两个不相等的素数一定互素                B.两个不相等的合数可能互素           

C.一个素数和一个合数可能没有公因数      D.一个素数和一个合数可能不互素

2.36和48之间的公因数有（  ）

A.4个             B.5个             C.6个             D.7个

3.a、b两个互素的数，它们的最大公因数是(  )

A.素数             B.1                C.不存在           D. a×b

4.如果正整数A和正整数B互素，那么它们的最大公因数是       ，9和13的最大公因数是       。

5.如果正整数A是正整数B的因数，那么它们的最大公因数是       ，6和24的最大公因数是        。

6.如果A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B的最大公因数是        。

7.已知A和B的最大公因数是1，且A=2×3，B=5×k，k是一位数，则k=        。         

8.三个小于20的自然数，这三个数的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素，这三个数是                。

9.求下列各组数的公因数和最大公因数

（1）18与24                              （2）45和75

（3）14、28和56                           （4）21、49和35

10.某班王同学到图书馆借书，若借40本，平均分发给每个同学还差2本，若借65本，平均分发给每个同学还剩2本；若借83本，平均分发给每个同学则还差1本，这个班最多有多少名同学？

11.劳技老师需要一张尺寸为570×840mm的纸裁成若干大小相等的正方形纸，且没有剩余。根据需要每张正方形纸的边长在25mm到40mm之间最为合适，那么正方形纸的边长应为多少？一共可以裁出几张这样的正方形纸？

12.如图，街道ABC在点B处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，要求在点A、B、C处各安装一盏路灯，问最少要安装多少盏路灯？           A       1625m         B

                                                                          1170m

                                                                          C                                                                          

参考答案

例1. B    

例2. C

例3. 1, 2, 4;  2, 2;  4           

例4.选用60×60（单位：厘米×厘米）的地砖           

例5.（1）14        （2）3   

例6.（1）×        （2）×        （3）√        （4）×

例7. 1； b

例8. （1）17        （2）13        （3）19        （4）23  

随堂练习

1. C  2. C  3. B  4. 1, 1;   5. A, 6;   6. 15  7. 1, 5, 7;  8. 6, 10, 15;     

9.（1）公因数：1, 2, 3, 6;  最大公因数：6;

  （2）公因数：1, 3, 5, 15;  最大公因数：15；

  （3）公因数：1, 2, 7, 14;  最大公因数：14；

  （4）公因数：1, 7;       最大公因数：7；

10. 21人；   11. 30mm，532张；   12. 44盏；（提示：1625=25×65, 1170=18×65，且18与25互素，所以1625和1170的最大公因数是65, 25+18+1=44）