小学数学沪教版六年级上册1.6 公倍数与最小公倍数优质学案及答案

第一章 数的整除

1.6 公倍数与最小公倍数

1.掌握公倍数与最小公倍数的概念与定义。

2.能熟练求取两个正整数的最小公倍数。

3.了解求三个正整数的最小公倍数的方法。

4.掌握两个数最大公因数和最小公倍数之间的关系。

知识点1：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数（common multiple）,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数（least common multiple）    

例1. 4和14的最小公倍数是（  ）

A. 4                 B. 14                C. 28                 D.38

例2.用长20cm, 宽14cm的地砖铺地，如果能铺成一个正方形的地面，那么正方形的边长是地砖长和宽的（  ）

A. 公因数            B. 最大公因数       C. 公倍数             D. 最小公倍数

例3. 8和22的公倍数有        个，最小公倍数是        。

知识点2：求取两个数最小公倍数的方法：

例：求18和30的最小公倍数

（1）枚举法（列举法）

18的倍数有：18, 36, 54, 72, 90……

30的倍数有：30, 60, 90, 120, 150……

所以18和30的最下公倍数是90。

（2）分解素因数法：

18=2×3×3

30=2×3×5

18和30的公倍数里，应当既包含18的所有素因数，又包含30的所有素因数，但相同的素因数就可以只取一个，只要取出18，30的所有公有的素因数（1个2和1个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些数连乘2×3×3×5，所得的积90就是18、30的最小公倍数。

（3）短除法：

    2      18      30                            

     3     9       15                                   

           3       5                                                                                             

18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90

其中2和3是公有的素因数，3和5是取出公有的素因数后各自剩余的素因数。              

例4.求32和84的最小公倍数               例5.求45和60的最大公因数和最小公倍数

知识点3：求三个正整数的最小公倍数

如何求三个数的最小公倍数呢？我们以求8，12和30的最小公倍数为例。

分别把8, 12和30分解素因数

8 =2×2×2

12=2×2   ×3

30=2×    ×3×5

8, 12和30的最小公倍数，应当既包含8的所有素因数，又包含12和30的所有素因数，但其中相同的素因数可以只取一个，所以8, 12和30的最小公倍数是取三个数公有的素因数（1个2）和每两个数公有的素因数（1个2和1个3），以及再取各自剩余的素因数（2和5），所有这些素因数的积。

因此8, 12和30的最小公倍数是2×2×2×3×5=120。

为了简便，也可以用短除法来进行计算

    2        8    12   30   

      3      4    6    15

       2     4    2    5

             2    1    5

8, 12和30的最小公倍数是2×2×2×3×5=120

例6. 求12, 18, 21的最小公倍数

思考1.用短除法分别求三个整数的最大公因数和最小公倍数时有什么不同？

思考2.一筐芦柑估计约有350个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都整好拿完，没有剩余，这筐芦柑有几个？

知识点4：两个整数的最小公倍数是由其共有的素因数的乘积（即最大公因数）与短除最后剩余的两个互素的数相乘所得，这可以作为考试的一个要点。

例：甲、乙两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是12，如果这两个数的差是18，求这两个数。

解：依题得：甲、乙两个数用短除法算得的最终两个互素的数的乘积是12，所以这两个互素的数只能是3和4或者1和12。因为甲和乙两个数的差是18，即上述互素的两数之差和甲、乙之间最大公因数的乘积是18，故而上述两个互素的数只能是3和4，所以甲、乙两个数分别是18×3=54，18×4=72。

例7.两个数的和是60，它们的最大公因数是12，这两个数是多少？

知识点5：如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，如果两个数互素，那么它们的乘积就是他们的最小公倍数。

随堂练习

1.下列说法中正确的是（  ）

A.互素的两个数没有最大公因数              

B.两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于这两数的积          

C.两个数的公因数一定比这两个数小

D.两个数的公倍数一定比这两个数大

2.下列说法中错误的有（  ）

①两个数的最大公因数是这两个数共有的因数的乘积

②两个数同时乘以一个正整数，它们的最大公因数要在原来的基础上乘以该正整数

③两个数同时乘以一个整数，它们的最小公倍数可能不发生变化

④两个互不相等的整数，它们的最小公倍数一定比它们的最大公因数要大

A.1个             B.2个              C.3个             D.4个

3.a、b两个互素的数，它们的最小公倍数是(  )

A.素数             B.1                C.不存在           D. a×b

4.如果正整数A和正整数B互素，那么它们的最小公倍数是       ，5和13的最小公倍数是       。

5.如果正整数A是正整数B的因数，那么它们的最小公倍数是       ，6和24的最小公倍数是        。

6.妈妈在某网络平台订购的水果每间隔5天配送一次，订购的牛奶每间隔3天配送一次，妈妈如果在9月24日同时收到水果和牛奶后，下一次能同时收到货的日期是          。

7.甲、乙两户人家住在同一小区，甲每6天去超市购物一次，乙每9天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，至少经过          天他们又会在同一天去超市。         

8.已知A=2×3×5，B=2×3×7，那么A和B的最小公倍数是           ，它们的最小公倍数是最大公因数的          倍。

9.一对互素的两个一位数，它们的最小公倍数是20，那么这两个数的和为        。

10.求下列各组数的最小公倍数

（1）16和20                              （2）30和35

（3）3、4和9                             （4）8、10和14

11.在长1.5km的公路一边，等距离种树（两端都种），原计划每10m种一颗并已放好种树的标记物，后来改成每12m种一棵，如果在种树地点安放标记物，那么不用移动的标记物有几个？

12.现有127人去春游，小车可载3人，大车可载5人，大车的人均价格比小车便宜，但是若所乘车辆未满载，则会受到高额索赔，为节约开支，大车最多租几辆？                                                                   

参考答案

例1. C    

例2. C

例3.无数;  88；           

例4. 672            

例5. 15; 180;   

例6. 252;

思考1.求三个数的最大公因数，短除时每次需除以这三个数共有的因数；而用短除法求三个数的最小公倍数时，每次只需除以任意两个数共有的因数。

思考2. 360个

例7. 12和48或者36和24；  

随堂练习

1. B  2. A  3. D  4. A×B; 65;   5. B; 24;   6. 10月6日  7. 18;  8. 210; 35；   9. 9  

10.（1）80;（2）210；（3）36；（4）280；11. 26个（提示：10和12的最小公倍数是60，1500÷60+1=26） 12. 23辆。