高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课后复习题，共6页。试卷主要包含了将315°化为弧度为，与角2π3终边相同的角是，下列转化结果错误的是，已知α=1 690°,等内容，欢迎下载使用。

A组


1.将315°化为弧度为( )


A.4π3B.5π3C.7π6D.7π4


2.与角2π3终边相同的角是( )


A.11π3B.2kπ-10π3(k∈Z)


C.2kπ-2π3(k∈Z)D.(2k+1)π+2π3(k∈Z)


3.设角α=-2弧度,则α所在的象限为( )


A.第一象限B.第二象限


C.第三象限D.第四象限


4.下列转化结果错误的是( )


A.60°化成弧度是π3B.-10π3化成角度是-600°


C.π12化成角度是15°D.-150°化成弧度是-7π6


5.已知角α=π4,则与α终边相同的角β的集合是 .


6.-27π4是第 象限的角.


7.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.




















8.已知α=1 690°,


(1)把角α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;


(2)求角θ,使角θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).




















9.如图,已知一长为3 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块的宽与桌面所成的角为30°.求点A走过的路程及走过的弧度所对扇形的总面积.




















B组


1.下列各组角中,终边相同的角是( )


A.20π3,87π9B.-π3,22π3


C.3π2,-3π2D.-7π9,-25π9


2.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,点P沿着直线l向右、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当点Q和点P在如图所示的位置同时停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是( )





A.S1=S2


B.S1≤S2


C.S1≥S2


D.先S1S2


3.《九章算术》是中国古代著名的数学专著,其中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3,弦长为403 m的弧田,其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )(参考数据:π≈3,3≈1.73)


A.15 m2B.16 m2C.17 m2D.18 m2


4.时钟的分针从1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为 .


5.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形AEB.若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为 .





6.在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则αtanα= .


7.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10,OB=x(0




(1)求θ关于x的函数解析式;


(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.


.参考答案


A组


1.将315°化为弧度为( )


A.4π3B.5π3C.7π6D.7π4


解析:315°=315π180=7π4.


答案:D


2.与角2π3终边相同的角是( )


A.11π3B.2kπ-10π3(k∈Z)


C.2kπ-2π3(k∈Z)D.(2k+1)π+2π3(k∈Z)


解析:选项A错误,11π3=2π+5π3,与角5π3终边相同;选项B正确,2kπ-10π3,k∈Z,当k=2时,2×2π-10π3=2π3,与2π3有相同的终边;选项C错误,2kπ-2π3,k∈Z,当k=1时,2×π-2π3=4π3,与4π3有相同的终边;选项D错误,(2k+1)π+2π3,k∈Z,当k=0时,(2×0+1)π+2π3=5π3.


答案:B


3.设角α=-2弧度,则α所在的象限为( )


A.第一象限B.第二象限


C.第三象限D.第四象限


解析:∵-π<-2<-π2,


∴2π-π<2π-2<2π-π2,即π<2π-2<3π2,


∴2π-2为第三象限角,∴α为第三象限角.


答案:C


4.下列转化结果错误的是( )


A.60°化成弧度是π3B.-10π3化成角度是-600°


C.π12化成角度是15°D.-150°化成弧度是-7π6


解析:选项A正确,60°=60×π180=π3;选项B正确,-10π3=-103×180°=-600°;选项C正确,π12=112×180°=15°;选项D错误,-150°=-150×π180=-5π6.


答案:D


5.已知角α=π4,则与α终边相同的角β的集合是 .


答案:ββ=π4+2kπ,k∈Z


6.-27π4是第 象限的角.


解析:因为-27π4=-6π-3π4,而-3π4是第三象限的角,所以-27π4是第三象限的角.


答案:三


7.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.





解:如图,330°角的终边与-30°角的终边相同,-30°=-π6,而75°=75×π180=5π12,


故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为θ2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k∈Z.


8.已知α=1 690°,


(1)把角α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;


(2)求角θ,使角θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).


解:(1)1 690°=4×360°+250°=4×2π+25π18.


(2)因为θ与α终边相同,所以θ=2kπ+25π18(k∈Z).


又因为θ∈(-4π,4π),所以-4π<2kπ+25π18<4π,


解得-9736

所以k=-2,-1,0,1.


所以θ的值是-47π18,-11π18,25π18,61π18.


9.如图,已知一长为3 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块的宽与桌面所成的角为30°.求点A走过的路程及走过的弧度所对扇形的总面积.





解:由题意可知圆弧AA1的半径是2 dm,圆心角为π2;圆弧A1A2的半径是1 dm,圆心角为π2;圆弧A2A3的半径是3 dm,圆心角为π3,故点A走过的路程即为3段圆弧之和,即2×π2+1×π2+3×π3=9+236π(dm);扇形的总面积是12×2×π+12×π2+12×3×3π3=7π4(dm2).


B组


1.下列各组角中,终边相同的角是( )


A.20π3,87π9B.-π3,22π3


C.3π2,-3π2D.-7π9,-25π9


解析:20π3=6π+2π3,87π9=10π-π3,终边不相同,选项A错误;


22π3=7π+π3,与-π3的终边不相同,选项B错误;


3π2的终边在y轴的负半轴上,而-3π2的终边在y轴的正半轴上,终边不相同,选项C错误;


因为-25π9=-2π-7π9,所以-7π9和-25π9的终边相同,选项D正确.


答案:D


2.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,点P沿着直线l向右、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当点Q和点P在如图所示的位置同时停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是( )





A.S1=S2


B.S1≤S2


C.S1≥S2


D.先S1S2


解析:因为直线l与圆O相切,所以OA⊥AP,


所以S△AOP=12·AP·OA.


又因为S扇形OAQ=12lAQ·R=12·lAQ·OA,


且AQ的长与线段AP的长相等,所以S扇形OAQ=S△AOP.


所以S扇形OAQ-S扇形OAB=S△AOP-S扇形OAB,即S1=S2.


答案:A


3.《九章算术》是中国古代著名的数学专著,其中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3,弦长为403 m的弧田,其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )(参考数据:π≈3,3≈1.73)


A.15 m2B.16 m2C.17 m2D.18 m2


解析:因为圆心角为2π3,弦长为403 m,所以圆心到弦的距离为20,半径为40.


因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(403×20+20×20)=4003+200,


实际面积等于扇形面积减去三角形面积,即12×2π3×402-12×20×403=1 600π3-4003.


因此两者之差为1 600π3-4003-(4003+200)≈16.


答案:B


4.时钟的分针从1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为 .


解析:因为分针每分钟转6°,所以分针从1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°.


所以-840°×π180°=-14π3.


答案:-14π3


5.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形AEB.若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为 .





解析:设正方形的边长为a,∠EAD=α.


由已知可得a2-14πa2=12αa2,解得α=2-π2.


答案:2-π2


6.在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则αtanα= .


解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为12αr2.在Rt△POB中,PB=rtan α,则△POB的面积为12r·rtan α.


由题意得12r·rtan α=2×12αr2,即tan α=2α,故αtanα=12.


答案:12


7.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10,OB=x(0




(1)求θ关于x的函数解析式;


(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.





解:(1)根据题意,可算得lBC=x·θ(m),lAD=10θ(m).


因为BA+CD+lBC+lAD=30,


所以10-x+10-x+xθ+10θ=30.


所以θ=2x+10x+10(0

(2)依据题意,可知y=S△OAD-S△OBC=12θ×102-12θx2,化简得y=-x2+5x+50=-x-522+2254.


所以当x=52时,ymax=2254(m2).


答:当x=52 m时,铭牌的面积最大,且最大面积为2254 m2.