高中数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第1课时测试题

这是一份高中数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第1课时测试题，共6页。

A组


1.化简sin(x+y)sin(x-y)+cs(x+y)cs(x-y)的结果是( )


A.sin 2xB.cs 2y


C.-cs 2xD.-cs 2y


2.已知sin α=223,cs(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cs β等于( )


A.-1B.12C.-13D.79


3.若12sin x+32cs x=cs(x+φ),则φ的一个可能值是( )


A.-π6B.-π3C.π6D.π3


4.已知csθ+π6=513,0<θ<π3,则cs θ等于( )


A.53+1226B.12-5313


C.5+12326D.5+5313


5.sin 162°sin 78°-cs 18°cs 102°= .


6.已知钝角α,β满足sin α=1010,cs β=255,则cs(α-β)= .


7.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若sin α=14,则cs(α-β)= .


8.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,t),且点P到原点的距离为62.


(1)求实数t的值;


(2)若α,β均为锐角,cs(α+β)=35,求cs β的值.




















9.已知cs(α-β)=-1213,cs(α+β)=1213,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,求角β的值.




















B组


1.已知sin(30°+α)=35,60°<α<150°,则cs α=( )


A.3-4310B.3+4310C.3±4310D.4±3310


2.已知sin x+3cs x=65,则csπ6-x=( )


A.-35B.35C.-45D.45


3.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为9∶25,则cs(α-β)的值为( )





A.59B.49C.916D.1625


4.若sin α·sin β=1,则cs(α-β)的值为 .


5.已知sin(3π-θ)=52sinπ2+θ(θ∈R),求csθ-π3的值.


























6.如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆相交于A,B两点.





(1)如果A,B两点的纵坐标分别为45,1213,求cs α和sin β;


(2)在(1)的条件下,求cs(β-α)的值.


参考答案


A组


1.化简sin(x+y)sin(x-y)+cs(x+y)cs(x-y)的结果是( )


A.sin 2xB.cs 2y


C.-cs 2xD.-cs 2y


解析:原式=cs(x+y)cs(x-y)+sin(x+y)·sin(x-y)=cs[(x+y)-(x-y)]=cs 2y.


答案:B


2.已知sin α=223,cs(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cs β等于( )


A.-1B.12C.-13D.79


解析:因为sin α=223,cs(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,所以cs α=13,sin(α+β)=223.


所以cs β=cs[(α+β)-α]=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α=79,故选D.


答案:D


3.若12sin x+32cs x=cs(x+φ),则φ的一个可能值是( )


A.-π6B.-π3C.π6D.π3


解析:∵12sin x+32cs x


=cs xcsπ6+sin xsinπ6=csx-π6,


∴φ的一个可能值为-π6.


答案:A


4.已知csθ+π6=513,0<θ<π3,则cs θ等于( )


A.53+1226B.12-5313


C.5+12326D.5+5313


解析:∵θ∈0,π3,∴θ+π6∈π6,π2.


∴sinθ+π6=1-cs2θ+π6=1213,


∴cs θ=csθ+π6-π6


=csθ+π6csπ6+sinθ+π6sinπ6


=513×32+1213×12=53+1226.


答案:A


5.sin 162°sin 78°-cs 18°cs 102°= .


解析:sin 162°sin 78°-cs 18°cs 102°


=sin 18°sin 78°+cs 18°cs 78°


=cs(78°-18°)=cs 60°=12.


答案:12


6.已知钝角α,β满足sin α=1010,cs β=255,则cs(α-β)= .


解析:因为α,β是钝角,所以cs α=-31010,sin β=55.


所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β


=-31010×255+1010×55=-22.


答案:-22


7.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若sin α=14,则cs(α-β)= .


解析:∵角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,


∴sin α=-sin β=14,cs α=cs β=154.


∴cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β


=154×154+14×-14=1416=78.


答案:78


8.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,t),且点P到原点的距离为62.


(1)求实数t的值;


(2)若α,β均为锐角,cs(α+β)=35,求cs β的值.


解:(1)由题意得1+t2=622,解得t=±22.


(2)∵α为锐角,∴t=22,即点P1,22.


∴sin α=yx2+y2=33.∴cs α=63.


又α,β为锐角,∴α+β∈(0,π).


由cs(α+β)=35,得sin(α+β)=1-cs2(α+β)=45.


∴cs β=cs[(α+β)-α]=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α=35×63+45×33=36+4315.


9.已知cs(α-β)=-1213,cs(α+β)=1213,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,求角β的值.


解:∵α-β∈π2,π,且cs(α-β)=-1213,


∴sin(α-β)=513.


又α+β∈3π2,2π,且cs(α+β)=1213,


∴sin(α+β)=-513.


∴cs 2β=cs[(α+β)-(α-β)]=cs(α+β)cs(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)


=1213×-1213+-513×513=-1.


又α+β∈3π2,2π,α-β∈π2,π,


∴2β∈π2,3π2.∴2β=π,即β=π2.


B组


1.已知sin(30°+α)=35,60°<α<150°,则cs α=( )


A.3-4310B.3+4310C.3±4310D.4±3310


解析:∵60°<α<150°,∴90°<α+30°<180°.


∴sin(30°+α)=35,


∴cs(30°+α)=-1-352=-45.


∴cs α=cs[(30°+α)-30°]=cs(30°+α)cs 30°+sin(30°+α)sin 30°=-45×32+35×12=3-4310,


故选A.


答案:A


2.已知sin x+3cs x=65,则csπ6-x=( )


A.-35B.35C.-45D.45


解析:∵sin x+3cs x=212sinx+32csx=2sinπ6sinx+csπ6csx=2csπ6-x=65,


∴csπ6-x=35.


答案:B


3.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为9∶25,则cs(α-β)的值为( )





A.59B.49C.916D.1625


解析:设大的正方形的边长为1.


因为小正方形与大正方形面积之比为9∶25,


所以小正方形的边长为35.


所以cs α-sin α=35①,


sin β-cs β=35②.


因为α+β=π2,所以cs α=sin β,sin α=cs β.


所以①×②可得925=cs αsin β+sin αcs β-cs αcs β-sin αsin β=sin2β+cs2β-cs(α-β)=1-cs(α-β),解得cs(α-β)=1625.


答案:D


4.若sin α·sin β=1,则cs(α-β)的值为 .


解析:∵sin αsin β=1,


∴sinα=-1,sinβ=-1或sinα=1,sinβ=1.


∵cs2α+sin2α=1,∴cs α=0.


∴cs(α-β)=cs α·cs β+sin α·sin β=0+1=1.


答案:1


5.已知sin(3π-θ)=52sinπ2+θ(θ∈R),求csθ-π3的值.


解:因为sin(3π-θ)=sin θ,sinπ2+θ=cs θ,


所以sin θ=52cs θ.


因为sin2θ+cs2θ=1,


所以sinθ=53,csθ=23或sinθ=-53,csθ=-23.


所以csθ-π3=12cs θ+32sin θ=±13+156.


6.如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆相交于A,B两点.





(1)如果A,B两点的纵坐标分别为45,1213,求cs α和sin β;


(2)在(1)的条件下,求cs(β-α)的值.


解:(1)∵OA=1,OB=1,且A,B两点的纵坐标分别为45,1213,


∴sin α=45,sin β=1213.∴cs α=35.


(2)∵β为钝角,sin β=1213,∴cs β=-513.


∴cs(β-α)=cs βcs α+sin βsin α=-513×35+1213×45=3365.