数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时同步训练题

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时同步训练题，共7页。

A组


1.已知α∈π2,π,sinα+π4=35,则sin α等于( )


A.210B.7210


C.-210或7210D.-7210


2.函数f(x)=sinx+π4-sinx-π4是( )


A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数


C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数


3.已知α∈π2,π,且sin α=35,则tanα+π4的值为( )


A.17B.7C.-17D.-7


4.若tan 28°tan 32°=a,则tan 28°+tan 32°等于( )


A.3aB.3(1-a)C.3(a-1)D.3(a+1)


5.已知-π2<α<0,且2tan α·sin α=3,则sinα-π3的值是( )


A.0B.-32C.-1D.32


6.tan75°-tan15°1+tan75°tan15°= .


7.sin 155°cs 35°-cs 25°cs 235°= .


8.已知θ为第二象限角,若tanθ+π4=12,求cs θ的值.





























9.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为210,255.








(1)求tan(α+β)的值;


(2)求α+2β的值.





























B组


1.已知tan(α+β)=25,tanβ-π4=14,则tanα+π4的值为( )


A.322B.2213C.1318D.16


2.已知sin α=35,α∈0,π2,则2csα+π4等于( )


A.75B.15C.-75D.-15


3.已知cs α=1213,α∈3π2,2π,则sinα-π4等于( )


A.5213B.7213C.17226D.-17226


4.已知sin(α+β)=35,sin(α-β)=-23,则tanαtanβ=( )


A.115B.25C.119D.-119


5.若sin α=-35,α是第三象限角,则sinα+π4= .


6.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若sin α=33,则cs(α+β)= .


7.已知α∈-π2,0,β∈0,π2,cs α=23,且cs(α-β)=45.


(1)求sinα+π3的值;


(2)求cs β的值.


























8.设cs α=-55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2.


(1)求sin(α-β)的值;


(2)求α-β的值.


参考答案


A组


1.已知α∈π2,π,sinα+π4=35,则sin α等于( )


A.210B.7210


C.-210或7210D.-7210


解析:因为α∈π2,π,所以3π4<α+π4<5π4.


所以csα+π4=-1-sin2α+π4=-1-352=-45.


所以sin α=sinα+π4-π4=sinα+π4csπ4-csα+π4sinπ4=22×35+45=7210.


答案:B


2.函数f(x)=sinx+π4-sinx-π4是( )


A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数


C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数


解析:因为f(x)=sinx+π4-sinx-π4


=sin xcsπ4+cs xsinπ4-sin xcsπ4+cs xsinπ4=2cs x,


所以函数f(x)的最小正周期为2π1=2π.


又因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=2cs(-x)=2cs x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.


答案:B


3.已知α∈π2,π,且sin α=35,则tanα+π4的值为( )


A.17B.7C.-17D.-7


解析:因为α∈π2,π,且sin α=35,


所以cs α=-45.所以tan α=-34.


所以tanα+π4=tanα+11-tanα=-34+11+34=17,故选A.


答案:A


4.若tan 28°tan 32°=a,则tan 28°+tan 32°等于( )


A.3aB.3(1-a)C.3(a-1)D.3(a+1)


解析:∵tan(28°+32°)=tan28°+tan32°1-tan28°tan32°=3,


∴tan 28°+tan 32°=3(1-a).


答案:B


5.已知-π2<α<0,且2tan α·sin α=3,则sinα-π3的值是( )


A.0B.-32C.-1D.32


解析:因为2tan α·sin α=2sin2αcsα=3,


又sin2α+cs2α=1,所以cs α=12.


因为-π2<α<0,所以sin α=-32.


所以sinα-π3=12sin α-32cs α=-32.


答案:B


6.tan75°-tan15°1+tan75°tan15°= .


解析:原式=tan(75°-15°)=tan 60°=3.


答案:3


7.sin 155°cs 35°-cs 25°cs 235°= .


解析:原式=sin 25°cs 35°+cs 25°sin 35°=sin(25°+35°)=sin 60°=32.


答案:32


8.已知θ为第二象限角,若tanθ+π4=12,求cs θ的值.


解:因为tanθ+π4=12,


所以tan θ=tanθ+π4-π4=tanθ+π4-tanπ41+tanθ+π4tanπ4=12-11+π4=-13.


由tanθ=sinθcsθ=-13,sin2θ+cs2θ=1,


且θ为第二象限角,可得cs θ=-31010.


9.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为210,255.








(1)求tan(α+β)的值;


(2)求α+2β的值.


解:由题意可知cs α=210,cs β=255.


∵α,β为锐角,∴sin α=7210,sin β=55,


∴tan α=7,tan β=12.


(1)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+121-7×12=-3.


(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)·tanβ=-3+121-(-3)×12=-1,


∵α,β为锐角,∴0<α+2β<3π2,∴α+2β=3π4.


B组


1.已知tan(α+β)=25,tanβ-π4=14,则tanα+π4的值为( )


A.322B.2213C.1318D.16


解析:因为α+π4=(α+β)-β-π4,


所以tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tanβ-π41+tan(α+β)tanβ-π4=25-141+25×14=322.


答案:A


2.已知sin α=35,α∈0,π2,则2csα+π4等于( )


A.75B.15C.-75D.-15


解析:因为α∈0,π2,sin α=35,


所以cs α=45.


所以2csα+π4


=2csαcsπ4-sinαsinπ4=15.


答案:B


3.已知cs α=1213,α∈3π2,2π,则sinα-π4等于( )


A.5213B.7213C.17226D.-17226


解析:因为α∈3π2,2π,所以sin α<0.


又因为sin2α+cs2α=1,cs α=1213,


所以sin α=-513.


所以sinα-π4=sin αcsπ4-cs αsinπ4


=22sin α-22cs α


=22×-513-22×1213=-17226.


答案:D


4.已知sin(α+β)=35,sin(α-β)=-23,则tanαtanβ=( )


A.115B.25C.119D.-119


解析:因为sin(α+β)=35,sin(α-β)=-23,


所以sinαcsβ+csαsinβ=35,sinαcsβ-csαsinβ=-23,


解得sinαcsβ=-130,csαsinβ=1930.


所以tanαtanβ=sinαcsαsinβcsβ=sinαcsβcsαsinβ=-1301930=-119.


答案:D


5.若sin α=-35,α是第三象限角,则sinα+π4= .


解析:∵sin α=-35,α是第三象限的角,


∴cs α=-1-sin2α=-45.


∴sinα+π4=22sin α+22cs α=22×-35-45=-7210.


答案:-7210


6.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若sin α=33,则cs(α+β)= .


解析:∵角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,且sin α=33,∴sin β=-33.


若α为第一象限角,则cs α=63,cs β=-63.


此时cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β


=63×-63-33×-33=-13;


若α为第二象限角,则cs α=-63,cs β=63,


此时cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β


=-63×63-33×-33=-13.


综上可知,cs(α+β)=-13.


答案:-13


7.已知α∈-π2,0,β∈0,π2,cs α=23,且cs(α-β)=45.


(1)求sinα+π3的值;


(2)求cs β的值.


解:(1)因为α为第四象限角,cs α=23,


所以sin α=-1-cs2α=-73.


所以sinα+π3=12sin α+32cs α=12×-73+32×23=6-76.


(2)因为α∈-π2,0,β∈0,π2,


所以α-β∈(-π,0).


又因为cs(α-β)=45,


所以sin(α-β)=-1-cs2(α-β)=-35.


所以cs β=cs[α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=45×23+73×35=42+3715.


8.设cs α=-55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2.


(1)求sin(α-β)的值;


(2)求α-β的值.


解:(1)因为π<α<3π2,cs α=-55,


所以sin α=-255.


又因为0<β<π2,tan β=13,


所以sin β=1010,cs β=31010.


所以sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=-255×31010+55×1010=-22.


(2)因为0<β<π2,所以-π2<-β<0.


又因为π<α<3π2,所以π2<α-β<3π2.


因为sin(α-β)=-22,所以α-β=5π4.