高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质本章综合与测试当堂检测题

这是一份高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质本章综合与测试当堂检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间:120分钟 满分:150分)


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)


1.若幂函数f(x)的图象经过点14,4,则f(-2)=( )


A.12B.2C.-12D.-2


2.已知[t]表示不超过t的最大整数,例如[1.05]=1,[3]=3,[-2.5]=-3等,则函数f(x)=1-[x]的定义域为( )


A.(-∞,1]B.[0,1]C.(-∞,2]D.(-∞,2)


3.若函数f(2x+1)=x2-2x,则f(3)等于( )


A.0B.1C.2D.3


4.函数f(x)=1x-2x在区间-2,-12上的最小值为( )


A.1B.72C.-72D.-1


5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )


A.y=x+1B.y=-x2


C.y=1xD.y=x|x|


6.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)内是( )


A.增函数B.减函数


C.有增有减D.增减性不确定


7.函数f(x)=|x-2|·(x-4)的单调递减区间是( )


A.[2,+∞)B.[3,+∞)C.[2,4]D.[2,3]


8.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在区间(0,+∞)内有最大值8,则在区间(-∞,0)内F(x)有( )


A.最小值-8B.最大值-8


C.最小值-6D.最小值-4


9.已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1,若f(1-2a)=f(1+a),则a的值为( )


A.-1B.1C.3D.-3


10.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,若对于任意两个实数x1≠x2,不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0恒成立,则不等式f(x+3)<0的解集为( )


A.(-∞,-3)B.(4,+∞)


C.(-∞,1)D.(-∞,-4)


11.已知f(x)为R上的奇函数,g(x)=xf(x),g(x)在区间(-∞,0)内单调递减.若a=g(0.51.3),b=g(0.61.3),c=g(0.71.3),则a,b,c的大小关系为( )


A.a

C.b

12.设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数,函数g(x)(x∈N)表示x除以4的余数,对任意的x∈N,给出以下式子:①f(x)≠g(x);②g(2x)=2g(x);③f(2x)=0;④f(x)+f(x+3)=1,其中正确的个数是( )


A.0B.1C.2D.3


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)


13.已知函数f(x)=x-1的定义域为A,值域为B,则A∩B= .


14.已知函数f(x)=x+2,x≤-1,-x2+4x,x>-1,若f(m)=-5,则实数m的值为 .


15.已知函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(-3)=a,则用a表示f(12)= .


16.已知投资x万元,经销甲商品所获得的利润为P=x4;经销乙商品所获得的利润为Q=ax2(a>0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为 .


三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=ax-1,x≥0,1x,x<0,且f(2)=0.


(1)求f(f(0));


(2)若f(m)=m,求实数m的值.














18.(本小题满分12分)已知f(x)=ax2+bx是定义在区间(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)内的奇函数.


(1)若f(2)=3,求a,b的值;


(2)若-1是方程f(x)=0的一个根,求函数f(x)在区间[2,4]上的值域.




















19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+2x+c,若不等式f(x)<0的解集是{x|-4

(1)求f(x)的解析式;


(2)若函数f(x)在区间[m,m+2]上的最小值为-5,求实数m的值.




















20.(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-2)2+2.


(1)求函数f(x)在R上的解析式;


(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;


(3)若方程f(x)-k=0有四个解,求实数k的取值范围.




















21.(本小题满分12分)已知命题p:f(x)=xx2+a是定义域为R的奇函数;命题q:g(x)=mx2+2x-1在区间12,+∞内单调递减.


(1)若a=m,命题p是假命题,且q是真命题,求实数m的取值范围;


(2)若a=m-3k,且“命题p为真”是“命题q为假”的充分不必要条件,求实数k的取值范围.

















22.(本小题满分12分)某公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资量成正比例,其关系如图①,B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图②(注:利润与投资量的单位:万元).





图①





图②


(1)分别将A,B两产品的利润表示为投资量的函数解析式;


(2)该公司已有10万元资金,并全部投入A,B两种产品中,问:怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?


参考答案


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)


1.若幂函数f(x)的图象经过点14,4,则f(-2)=( )


A.12B.2C.-12D.-2


解析:设f(x)=xα(α∈R),则有14α=4,解得α=-1,即f(x)=1x,于是f(-2)=-12.


答案:C


2.已知[t]表示不超过t的最大整数,例如[1.05]=1,[3]=3,[-2.5]=-3等,则函数f(x)=1-[x]的定义域为( )


A.(-∞,1]B.[0,1]C.(-∞,2]D.(-∞,2)


解析:依题意应有1-[x]≥0,所以[x]≤1,因此x<2,即定义域为(-∞,2).


答案:D


3.若函数f(2x+1)=x2-2x,则f(3)等于( )


A.0B.1C.2D.3


解析:因为f(2x+1)=x2-2x,


所以f(2·2+1)=22-2·2,即f(3)=0.


答案:A


4.函数f(x)=1x-2x在区间-2,-12上的最小值为( )


A.1B.72C.-72D.-1


解析:因为f(x)在区间-2,-12上单调递减,所以f(x)min=f-12=1-12-2×-12=-1.


答案:D


5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )


A.y=x+1B.y=-x2


C.y=1xD.y=x|x|


解析:y=x+1和y=-x2不是奇函数,y=1x是奇函数但不是增函数,只有y=x|x|是奇函数且在R上是增函数.


答案:D


6.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)内是( )


A.增函数B.减函数


C.有增有减D.增减性不确定


解析:因为f(x)为偶函数,所以m=0,故f(x)=-x2+3,其图象开口向下,对称轴为y轴,于是f(x)在区间(2,5)内是减函数.


答案:B


7.函数f(x)=|x-2|·(x-4)的单调递减区间是( )


A.[2,+∞)B.[3,+∞)C.[2,4]D.[2,3]


解析:由于f(x)=|x-2|·(x-4)=x2-6x+8,x≥2,-x2+6x-8,x<2,在坐标系中画出函数f(x)的图象(如图),则可得函数f(x)的单调递减区间是[2,3].





答案:D


8.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在区间(0,+∞)内有最大值8,则在区间(-∞,0)内F(x)有( )


A.最小值-8B.最大值-8


C.最小值-6D.最小值-4


解析:设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),F(-x)=f(-x)+g(-x)+2≤8,且存在x0∈(0,+∞)使F(x0)=8.


因为f(x),g(x)都是奇函数,所以f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]≤6,f(x)+g(x)≥-6,则F(x)=f(x)+g(x)+2≥-4,且存在x0∈(-∞,0)使F(x0)=-4.故F(x)在区间(-∞,0)内有最小值-4.


答案:D


9.已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1,若f(1-2a)=f(1+a),则a的值为( )


A.-1B.1C.3D.-3


解析:当a>0时,1-2a<1,1+a>1,所以由f(1-2a)=f(1+a),得2(1-2a)+a=-(1+a)-2a,得a无解;


当a<0时,1-2a>1,1+a<1,所以由f(1-2a)=f(1+a),得-(1-2a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-1.


综上可得,a=-1.


答案:A


10.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,若对于任意两个实数x1≠x2,不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0恒成立,则不等式f(x+3)<0的解集为( )


A.(-∞,-3)B.(4,+∞)


C.(-∞,1)D.(-∞,-4)


解析:函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,其图象关于原点对称,由函数f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到函数f(x)的图象,则函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称;又对于任意的x1≠x2,且x1,x2∈R满足不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则函数f(x)在R上单调递增,结合图象(图略)可知f(x+3)<0⇔x+3<-1,则x<-4.


答案:D


11.已知f(x)为R上的奇函数,g(x)=xf(x),g(x)在区间(-∞,0)内单调递减.若a=g(0.51.3),b=g(0.61.3),c=g(0.71.3),则a,b,c的大小关系为( )


A.a

C.b

解析:因为f(x)为奇函数,所以g(x)为偶函数.


又因为g(x)在区间(-∞,0)内单调递减,所以在区间(0,+∞)内单调递增.


因为0.51.3<0.61.3<0.71.3,所以g(0.51.3)

答案:A


12.设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数,函数g(x)(x∈N)表示x除以4的余数,对任意的x∈N,给出以下式子:①f(x)≠g(x);②g(2x)=2g(x);③f(2x)=0;④f(x)+f(x+3)=1,其中正确的个数是( )


A.0B.1C.2D.3


解析:当x是4的倍数时,可知f(x)=g(x)=0,所以①不正确;


容易得到当x=2时,g(2x)=g(4)=0,而2g(x)=2g(2)=4,所以g(2x)≠2g(x),故②错误;


当x∈N时,2x一定是偶数,所以f(2x)=0正确;


当x∈N时,x和x+3中必有一个奇数、一个偶数,所以f(x)和f(x+3)中一个为0、一个为1,所以f(x)+f(x+3)=1正确,故正确式子有2个,选C.


答案:C


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)


13.已知函数f(x)=x-1的定义域为A,值域为B,则A∩B= .


解析:易知A=[1,+∞),B=[0,+∞),


所以A∩B=[1,+∞).


答案:[1,+∞)


14.已知函数f(x)=x+2,x≤-1,-x2+4x,x>-1,若f(m)=-5,则实数m的值为 .


解析:若m≤-1,则由m+2=-5,得m=-7;


若m>-1,则由-m2+4m=-5,得m=5,


所有实数m的值为-7或5.


答案:-7或5


15.已知函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(-3)=a,则用a表示f(12)= .


解析:令x=y=0,得f(0)=2f(0),


于是f(0)=0,


所以f(0)=f(3)+f(-3),得f(3)=-a,


于是f(6)=2f(3)=-2a,f(12)=2f(6)=-4a.


答案:-4a


16.已知投资x万元,经销甲商品所获得的利润为P=x4;经销乙商品所获得的利润为Q=ax2(a>0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为 .


解析:设投资甲商品(20-x)万元,则投资乙商品x万元(0≤x≤20).


利润分别为P=20-x4和Q=ax2.


因为当0≤x≤20时,P+Q=20-x4+ax2≥5恒成立,所以2ax≥x.


因为0≤x≤20,所以a≥5,故a的最小值为5.


答案:5


三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=ax-1,x≥0,1x,x<0,且f(2)=0.


(1)求f(f(0));


(2)若f(m)=m,求实数m的值.


解:(1)由f(2)=0,得2a-1=0,于是a=12.


因此f(x)=12x-1,x≥0,1x,x<0,


所以f(0)=-1,故f(f(0))=f(-1)=-1.


(2)当m≥0时,由f(m)=m,


得12m-1=m,解得m=-2(舍去);


当m<0时,由f(m)=m,


得1m=m,解得m=-1或m=1(舍去),


故实数m的值等于-1.


18.(本小题满分12分)已知f(x)=ax2+bx是定义在区间(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)内的奇函数.


(1)若f(2)=3,求a,b的值;


(2)若-1是方程f(x)=0的一个根,求函数f(x)在区间[2,4]上的值域.


解:(1)由f(x)为奇函数,得(b-3)+(b-1)=0,解得b=2.又f(2)=3,得4a+22=3,解得a=1.故a,b的值分别为1,2.


(2)由条件知,f(-1)=0,


所以a+2=0,因此a=-2.


则f(x)=-2x2+2x=-2x+2x.


因为f(x)在区间[2,4]上单调递减,


所以f(x)的最大值为f(2)=-3,最小值为f(4)=-7.5.


故函数f(x)在区间[2,4]上的值域为[-7.5,-3].


19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+2x+c,若不等式f(x)<0的解集是{x|-4

(1)求f(x)的解析式;


(2)若函数f(x)在区间[m,m+2]上的最小值为-5,求实数m的值.


解:(1)依题意知方程ax2+2x+c=0的两个根是-4与2,


所以-4+2=-2a,-4×2=ca,解得a=1,c=-8,


于是f(x)=x2+2x-8.


(2)f(x)=x2+2x-8=(x+1)2-9.


当m+2≤-1,即m≤-3时,f(x)在区间[m,m+2]上单调递减,所以最小值为f(m+2),


则f(m+2)=-5,即(m+3)2-9=-5,


解得m=-5(m=-1舍去);


当m≥-1时,f(x)在区间[m,m+2]上单调递增,所以最小值为f(m),


则f(m)=-5,即(m+1)2-9=-5,


解得m=1(m=-3舍去);


当m<-1

综上,实数m的值为-5或1.


20.(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-2)2+2.


(1)求函数f(x)在R上的解析式;


(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;


(3)若方程f(x)-k=0有四个解,求实数k的取值范围.


解:(1)若x<0,则-x>0,f(x)=f(-x)=-(-x-2)2+2=-(x+2)2+2,则f(x)=-(x-2)2+2,x≥0,-(x+2)2+2,x<0.


(2)图象如图所示.





(3)由于方程f(x)-k=0的解就是函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点的横坐标,观察函数y=f(x)图象与直线y=k的交点情况可知,当-2

21.(本小题满分12分)已知命题p:f(x)=xx2+a是定义域为R的奇函数;命题q:g(x)=mx2+2x-1在区间12,+∞内单调递减.


(1)若a=m,命题p是假命题,且q是真命题,求实数m的取值范围;


(2)若a=m-3k,且“命题p为真”是“命题q为假”的充分不必要条件,求实数k的取值范围.


解:若f(x)=xx2+a的定义域为R,必有a>0,且f(x)一定为奇函数,故当命题p为真命题时,有a>0;


若g(x)=mx2+2x-1在区间12,+∞内单调递减,必有m<0,-1m≤12,解得m≤-2,故当命题q为真命题时,m≤-2.


(1)因为a=m,且p是假命题,q是真命题,


所以m≤0,m≤-2,从而实数m的取值范围是(-∞,-2].


(2)“命题p为真”时,m-3k>0,即m>3k;“命题q为假”时,m>-2,因为“命题p为真”是“命题q为假”的充分不必要条件,所以3k>-2,解得k>-23,即实数k的取值范围是-23,+∞.


22.(本小题满分12分)某公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资量成正比例,其关系如图①,B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图②(注:利润与投资量的单位:万元).





图①





图②


(1)分别将A,B两产品的利润表示为投资量的函数解析式;


(2)该公司已有10万元资金,并全部投入A,B两种产品中,问:怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?


解:(1)设投资x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,


依题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2x.


由题图①,得f(1)=0.2,即k1=0.2=15.


由题图②,得g(4)=1.6,即k2×4=1.6,


所以k2=45.


故f(x)=15x(x≥0),g(x)=45x(x≥0).


(2)设B产品投入x万元,则A产品投入(10-x)万元,企业利润为y万元,


由(1)得y=f(10-x)+g(x)=-15x+45x+2(0≤x≤10).


因为y=-15x+45x+2=-15(x-2)2+145,0≤x≤10,所以当x=2,即x=4时,ymax=145=2.8.


因此当A产品投入6万元,B产品投入4万元时,该企业获得最大利润为2.8万元.