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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是( )
A.22B.-22C.1D.22或-22
2.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为( )
A.1sin21B.2sin22C.1cs21D.2cs22
3.要得到函数y=cs2x+π3的图象,只需将函数y=cs 2x的图象( )
A.向左平移π3个单位长度B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π6个单位长度D.向右平移π3个单位长度
4.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin(π-α)-sinπ2+α2cs(α-2π)的值为( )
A.1B.-45C.-1D.-4
5.已知α为第二象限角,sin α=35,则sinα-π6的值等于( )
A.4+3310B.4-3310C.33-410D.-4-3310
6.函数f(x)=3cs x-3sin x的图象的一条对称轴方程是( )
A.x=5π6B.x=2π3C.x=π3D.x=-π3
7.设sinπ4+θ=13,则sin 2θ等于( )
A.-19B.-79C.19D.79
8.函数y=12sin 2x+sin2x(x∈R)的值域是( )
A.-12,32B.-32,12
C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12
9.如图,已知函数y=3·tan2x+π6的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于( )
A.π4B.π2C.πD.2π
10.若函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,且g(x)=fx-π3,则ω的最小值等于( )
A.1B.2C.3D.4
11.在北京召开的国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sinθ+π2-csθ+π3=( )
A.4+3310B.4-3310C.-4+3310D.-4-3310
12.已知α,β∈0,π4,tanα21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知csπ6-α=23,则sinα-2π3= .
14.设角α为钝角,且3sin 2α=cs α,则sin α= .
15.若方程3sin x+cs x=a在区间[0,2π]上恰有两个不同的实数解,则a的取值范围为 .
16.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深:
若该港口的水深y(单位:m)和时刻t(0≤t≤24,单位:h)的关系可用函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为 m.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知点P(1,t)在角θ的终边上,且sin θ=-63.
(1)求t和cs θ的值;
(2)求sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)的值.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x-π3+cs2x-π6+2cs2x-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈π4,π2,且f(α)=325,求cs 2α.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π3,当x∈0,π3时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
20.(本小题满分12分)在函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M2π3,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈π12,π2时,求f(x)的值域.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin xcs x+cs2x-12.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-k=0在区间0,π2上有实数解,求实数k的取值范围.
22.(本小题满分12分)如图,某公园摩天轮的半径为40 m,圆心距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻t(单位:min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(其中A>0,ω>0,|φ|<π),求2 019 min时点P距离地面的高度;
(2)当点P距离地面(50+203)m以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌?
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深/m
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
x
-π6
π3
5π6
4π3
11π6
7π3
17π6
y
-1
1
3
1
-1
1
3
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是( )
A.22B.-22C.1D.22或-22
解析:因为r=|OP|=a2+a2=2|a|,
所以sin α=ar=22,a>0,-22,a<0.
所以sin α的值是22或-22.
答案:D
2.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为( )
A.1sin21B.2sin22C.1cs21D.2cs22
解析:由题意得扇形的半径为1sin1,
故该扇形的面积为12×2×1sin21=1sin21.
答案:A
3.要得到函数y=cs2x+π3的图象,只需将函数y=cs 2x的图象( )
A.向左平移π3个单位长度B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π6个单位长度D.向右平移π3个单位长度
解析:∵y=cs2x+π3=cs2x+π6,
∴要得到函数y=cs2x+π3的图象,只需将函数y=cs 2x的图象向左平移π6个单位长度.
答案:B
4.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin(π-α)-sinπ2+α2cs(α-2π)的值为( )
A.1B.-45C.-1D.-4
解析:根据任意角的三角函数定义,
可得tan α=3.
所以sin(π-α)-sinπ2+α2cs(α-2π)=sinα-csα2csα
=12tan α-12=32-12=1.故选A.
答案:A
5.已知α为第二象限角,sin α=35,则sinα-π6的值等于( )
A.4+3310B.4-3310C.33-410D.-4-3310
解析:∵sin α=35,α是第二象限角,∴cs α=-45.
∴sinα-π6=sin αcs π6-cs αsin π6
=35×32+45×12=33+410.故选A.
答案:A
6.函数f(x)=3cs x-3sin x的图象的一条对称轴方程是( )
A.x=5π6B.x=2π3C.x=π3D.x=-π3
解析:∵f(x)=3cs x-3sin x
=2332csx-12sinx=23csx+π6,
∴函数f(x)图象的对称轴方程为x+π6=kπ,k∈Z,
即x=kπ-π6,k∈Z.
∴当k=1时,x=5π6是其中的一条对称轴方程,故选A.
答案:A
7.设sinπ4+θ=13,则sin 2θ等于( )
A.-19B.-79C.19D.79
解析:因为sinπ4+θ=13,所以22(sin θ+cs θ)=13.
所以两边平方,可得12(1+sin 2θ)=19.
解得sin 2θ=-79.
答案:B
8.函数y=12sin 2x+sin2x(x∈R)的值域是( )
A.-12,32B.-32,12
C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12
解析:y=12sin 2x+1-cs2x2=2222sin2x-22cs2x+12=22sin2x-π4+12.
∵x∈R,∴2x-π4∈R,∴sin2x-π4∈[-1,1],
∴函数y的值域是-22+12,22+12.
答案:C
9.如图,已知函数y=3·tan2x+π6的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于( )
A.π4B.π2C.πD.2π
解析:在y=3tan2x+π6中,
令x=0,得y=3tanπ6=1,故OD=1.
又函数y=3tan2x+π6的最小正周期为T=π2,所以EF=π2.
所以S△DEF=12·EF·OD=12×π2×1=π4.
答案:A
10.若函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,且g(x)=fx-π3,则ω的最小值等于( )
A.1B.2C.3D.4
解析:由题意得f(x)=2sinωx+π3.
∵函数f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,
∴g(x)=-f2π3-x.又g(x)=fx-π3,
∴-f2π3-x=fx-π3,
即-2sin2ωπ3-ωx+π3=2sinωx-ωπ3+π3.
∴sin-2ωπ3+ωx-π3=sinωx-ωπ3+π3.
结合-2ωπ3+ωx-π3与ωx-ωπ3+π3的特征可得ωx-ωπ3+π3--2ωπ3+ωx-π3=2kπ,k∈Z.
∴ω+2=6k,k∈Z.
又ω>0,∴当k=1时,ω取得最小值4,故选D.
答案:D
11.在北京召开的国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sinθ+π2-csθ+π3=( )
A.4+3310B.4-3310C.-4+3310D.-4-3310
解析:设直角三角形中较小的直角边长为a,
则a2+(a+2)2=102.∴a=6.
∴sin θ=610=35,cs θ=810=45.
∴sinθ+π2-csθ+π3
=cs θ-12cs θ+32sin θ
=12cs θ+32sin θ
=12×45+32×35=4+3310,选A.
答案:A
12.已知α,β∈0,π4,tanα21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
解析:由题意得tan α=tan2×α2=2tanα21-tan2α2=12.
∵α∈0,π4,∴cs α=25,sin α=15.
∵3sin β=sin(2α+β),
∴3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],
即3sin(α+β)cs α-3cs(α+β)sin α=sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α,
即sin(α+β)cs α=2cs(α+β)sin α.
∴2sin(α+β)5=2cs(α+β)5.∴tan(α+β)=1,
又0<α+β<π2,∴α+β=π4.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知csπ6-α=23,则sinα-2π3= .
解析:∵sinπ3+α=sinπ2-π6-α=csπ6-α=23,
∴sinα-2π3=sinπ3+α-π=-sinπ3+α=-23.
答案:-23
14.设角α为钝角,且3sin 2α=cs α,则sin α= .
解析:因为α为钝角,所以sin α>0,cs α<0.
又因为3sin 2α=cs α,可得6sin αcs α=cs α,
所以sin α=16.
答案:16
15.若方程3sin x+cs x=a在区间[0,2π]上恰有两个不同的实数解,则a的取值范围为 .
解析:由题意可知a=232sin x+12cs x=2sinx+π6.
∵x∈[0,2π],∴x+π6∈π6,13π6.
令t=x+π6,可画出y=2sin t,t∈π6,13π6上的图象(图象略).
∴由3sin x+cs x=a有两个不同的实数解,
再结合y=2sin t,t∈π6,13π6上的图象(图象略),可知a∈(-2,1)∪(1,2).
答案:(-2,1)∪(1,2)
16.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深:
若该港口的水深y(单位:m)和时刻t(0≤t≤24,单位:h)的关系可用函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为 m.
解析:由题意得函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)的周期为T=12,且h+A=7,h-A=3,解得A=2,h=5,且ω=2π12=π6,故y=2sin π6t+5.
因此该港口在11:00的水深为y=2sin 116π+5=4(m).
答案:4
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知点P(1,t)在角θ的终边上,且sin θ=-63.
(1)求t和cs θ的值;
(2)求sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)的值.
解:(1)因为r=|OP|=t2+1,
所以sin θ=tt2+1=-63,解得t=-2.
所以θ为第四象限角.所以cs θ=1-sin2θ=33.
(2)sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)=sinθ-csθ-2sinθ-csθ+3sin θ(-cs θ)=-1.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x-π3+cs2x-π6+2cs2x-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈π4,π2,且f(α)=325,求cs 2α.
解:(1)∵f(x)=12sin 2x-32cs 2x+32cs 2x+12sin 2x+cs 2x=sin 2x+cs 2x=2sin2x+π4,
∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
(2)∵f(α)=325,∴2sin2α+π4=325.
∴sin2α+π4=35.
∵α∈π4,π2,∴3π4≤2α+π4≤5π4.
∴cs2α+π4=-45.
∴cs 2α=cs2α+π4-π4=cs2α+π4csπ4+sin2α+π4sinπ4=-45×22+35×22=-210.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π3,当x∈0,π3时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
解:(1)设f(x)的最小正周期为T,
则T=11π6--π6=2π.由T=2πω,得ω=1.
又B+A=3,B-A=-1,解得A=2,B=1.
令ω·5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z),
即5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z).
解得φ=-π3+2kπ(k∈Z).
故f(x)=2sinx-π3+1.
(2)∵函数y=f(kx)=2sinkx-π3+1的周期为2π3,又k>0,∴k=3.令t=3x-π3.
∵x∈0,π3,∴t∈-π3,2π3.
如图,sin t=s在区间-π3,2π3上有两个不同的解,则s∈32,1.
∴方程f(kx)=m在x∈0,π3时恰好有两个不同的解,则m∈3+1,3,即实数m的取值范围是3+1,3.
20.(本小题满分12分)在函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M2π3,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈π12,π2时,求f(x)的值域.
解:(1)由最低点为M2π3,-2,得A=2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为π2,
得T2=π2,即T=π.故ω=2πT=2ππ=2.
由点M2π3,-2在图象上,得2sin2×2π3+φ=-2,
即sin4π3+φ=-1,故4π3+φ=2kπ-π2(k∈Z),
解得φ=2kπ-11π6(k∈Z).又φ∈0,π2,
所以φ=π6.所以f(x)=2sin2x+π6.
(2)由x∈π12,π2,得2x+π6∈π3,7π6.
当2x+π6=π2,即x=π6时,f(x)取得最大值2;
当2x+π6=7π6,即x=π2时,f(x)取得最小值-1,
故当x∈π12,π2时,f(x)的值域为[-1,2].
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin xcs x+cs2x-12.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-k=0在区间0,π2上有实数解,求实数k的取值范围.
解:(1)∵f(x)=3sin xcs x+cs2x-12=32sin 2x+12cs 2x=sin2x+π6,
∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为 -π3+kπ,π6+kπ (k∈Z).
(2)将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)=sinx+π6的图象.
∵0≤x≤π2.∴π6≤x+π6≤2π3.
∴12≤sinx+π6≤1.∴12≤g(x)≤1.
∴关于x的方程g(x)-k=0在区间0,π2上有实数解,即g(x)的图象与直线y=k有交点.
∴12≤k≤1.∴k的取值范围为12,1.
22.(本小题满分12分)如图,某公园摩天轮的半径为40 m,圆心距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻t(单位:min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(其中A>0,ω>0,|φ|<π),求2 019 min时点P距离地面的高度;
(2)当点P距离地面(50+203)m以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌?
解:(1)依题意,A=40,h=50,T=3,
则ω=2π3.由f(0)=10,|φ|<π,可知φ=-π2.
故在时刻t时点P距离地面的高度
f(t)=40sin2π3t-π2+50(t≥0).
因此f(2 019)=40sin2π3×2 019-π2+50=10,
即2 019 min时点P距离地面的高度为10 m.
(2)由(1)知f(t)=40sin2π3t-π2+50=50-40cs2π3t,其中t≥0.
依题意,令f(t)>50+203,
即-40cs2π3t>203,即cs2π3t<-32,
解得2kπ+5π6<2π3t<2kπ+7π6,k∈N,
即3k+54
由3k+74-3k+54=0.5,
可知转一圈中有0.5 min时间可以看到公园全貌.时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深/m
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
x
-π6
π3
5π6
4π3
11π6
7π3
17π6
y
-1
1
3
1
-1
1
3
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是( )
A.22B.-22C.1D.22或-22
2.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为( )
A.1sin21B.2sin22C.1cs21D.2cs22
3.要得到函数y=cs2x+π3的图象,只需将函数y=cs 2x的图象( )
A.向左平移π3个单位长度B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π6个单位长度D.向右平移π3个单位长度
4.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin(π-α)-sinπ2+α2cs(α-2π)的值为( )
A.1B.-45C.-1D.-4
5.已知α为第二象限角,sin α=35,则sinα-π6的值等于( )
A.4+3310B.4-3310C.33-410D.-4-3310
6.函数f(x)=3cs x-3sin x的图象的一条对称轴方程是( )
A.x=5π6B.x=2π3C.x=π3D.x=-π3
7.设sinπ4+θ=13,则sin 2θ等于( )
A.-19B.-79C.19D.79
8.函数y=12sin 2x+sin2x(x∈R)的值域是( )
A.-12,32B.-32,12
C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12
9.如图,已知函数y=3·tan2x+π6的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于( )
A.π4B.π2C.πD.2π
10.若函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,且g(x)=fx-π3,则ω的最小值等于( )
A.1B.2C.3D.4
11.在北京召开的国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sinθ+π2-csθ+π3=( )
A.4+3310B.4-3310C.-4+3310D.-4-3310
12.已知α,β∈0,π4,tanα21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知csπ6-α=23,则sinα-2π3= .
14.设角α为钝角,且3sin 2α=cs α,则sin α= .
15.若方程3sin x+cs x=a在区间[0,2π]上恰有两个不同的实数解,则a的取值范围为 .
16.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深:
若该港口的水深y(单位:m)和时刻t(0≤t≤24,单位:h)的关系可用函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为 m.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知点P(1,t)在角θ的终边上,且sin θ=-63.
(1)求t和cs θ的值;
(2)求sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)的值.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x-π3+cs2x-π6+2cs2x-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈π4,π2,且f(α)=325,求cs 2α.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π3,当x∈0,π3时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
20.(本小题满分12分)在函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M2π3,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈π12,π2时,求f(x)的值域.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin xcs x+cs2x-12.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-k=0在区间0,π2上有实数解,求实数k的取值范围.
22.(本小题满分12分)如图,某公园摩天轮的半径为40 m,圆心距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻t(单位:min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(其中A>0,ω>0,|φ|<π),求2 019 min时点P距离地面的高度;
(2)当点P距离地面(50+203)m以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌?
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深/m
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
x
-π6
π3
5π6
4π3
11π6
7π3
17π6
y
-1
1
3
1
-1
1
3
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是( )
A.22B.-22C.1D.22或-22
解析:因为r=|OP|=a2+a2=2|a|,
所以sin α=ar=22,a>0,-22,a<0.
所以sin α的值是22或-22.
答案:D
2.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为( )
A.1sin21B.2sin22C.1cs21D.2cs22
解析:由题意得扇形的半径为1sin1,
故该扇形的面积为12×2×1sin21=1sin21.
答案:A
3.要得到函数y=cs2x+π3的图象,只需将函数y=cs 2x的图象( )
A.向左平移π3个单位长度B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π6个单位长度D.向右平移π3个单位长度
解析:∵y=cs2x+π3=cs2x+π6,
∴要得到函数y=cs2x+π3的图象,只需将函数y=cs 2x的图象向左平移π6个单位长度.
答案:B
4.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin(π-α)-sinπ2+α2cs(α-2π)的值为( )
A.1B.-45C.-1D.-4
解析:根据任意角的三角函数定义,
可得tan α=3.
所以sin(π-α)-sinπ2+α2cs(α-2π)=sinα-csα2csα
=12tan α-12=32-12=1.故选A.
答案:A
5.已知α为第二象限角,sin α=35,则sinα-π6的值等于( )
A.4+3310B.4-3310C.33-410D.-4-3310
解析:∵sin α=35,α是第二象限角,∴cs α=-45.
∴sinα-π6=sin αcs π6-cs αsin π6
=35×32+45×12=33+410.故选A.
答案:A
6.函数f(x)=3cs x-3sin x的图象的一条对称轴方程是( )
A.x=5π6B.x=2π3C.x=π3D.x=-π3
解析:∵f(x)=3cs x-3sin x
=2332csx-12sinx=23csx+π6,
∴函数f(x)图象的对称轴方程为x+π6=kπ,k∈Z,
即x=kπ-π6,k∈Z.
∴当k=1时,x=5π6是其中的一条对称轴方程,故选A.
答案:A
7.设sinπ4+θ=13,则sin 2θ等于( )
A.-19B.-79C.19D.79
解析:因为sinπ4+θ=13,所以22(sin θ+cs θ)=13.
所以两边平方,可得12(1+sin 2θ)=19.
解得sin 2θ=-79.
答案:B
8.函数y=12sin 2x+sin2x(x∈R)的值域是( )
A.-12,32B.-32,12
C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12
解析:y=12sin 2x+1-cs2x2=2222sin2x-22cs2x+12=22sin2x-π4+12.
∵x∈R,∴2x-π4∈R,∴sin2x-π4∈[-1,1],
∴函数y的值域是-22+12,22+12.
答案:C
9.如图,已知函数y=3·tan2x+π6的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于( )
A.π4B.π2C.πD.2π
解析:在y=3tan2x+π6中,
令x=0,得y=3tanπ6=1,故OD=1.
又函数y=3tan2x+π6的最小正周期为T=π2,所以EF=π2.
所以S△DEF=12·EF·OD=12×π2×1=π4.
答案:A
10.若函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,且g(x)=fx-π3,则ω的最小值等于( )
A.1B.2C.3D.4
解析:由题意得f(x)=2sinωx+π3.
∵函数f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,
∴g(x)=-f2π3-x.又g(x)=fx-π3,
∴-f2π3-x=fx-π3,
即-2sin2ωπ3-ωx+π3=2sinωx-ωπ3+π3.
∴sin-2ωπ3+ωx-π3=sinωx-ωπ3+π3.
结合-2ωπ3+ωx-π3与ωx-ωπ3+π3的特征可得ωx-ωπ3+π3--2ωπ3+ωx-π3=2kπ,k∈Z.
∴ω+2=6k,k∈Z.
又ω>0,∴当k=1时,ω取得最小值4,故选D.
答案:D
11.在北京召开的国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sinθ+π2-csθ+π3=( )
A.4+3310B.4-3310C.-4+3310D.-4-3310
解析:设直角三角形中较小的直角边长为a,
则a2+(a+2)2=102.∴a=6.
∴sin θ=610=35,cs θ=810=45.
∴sinθ+π2-csθ+π3
=cs θ-12cs θ+32sin θ
=12cs θ+32sin θ
=12×45+32×35=4+3310,选A.
答案:A
12.已知α,β∈0,π4,tanα21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
解析:由题意得tan α=tan2×α2=2tanα21-tan2α2=12.
∵α∈0,π4,∴cs α=25,sin α=15.
∵3sin β=sin(2α+β),
∴3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],
即3sin(α+β)cs α-3cs(α+β)sin α=sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α,
即sin(α+β)cs α=2cs(α+β)sin α.
∴2sin(α+β)5=2cs(α+β)5.∴tan(α+β)=1,
又0<α+β<π2,∴α+β=π4.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知csπ6-α=23,则sinα-2π3= .
解析:∵sinπ3+α=sinπ2-π6-α=csπ6-α=23,
∴sinα-2π3=sinπ3+α-π=-sinπ3+α=-23.
答案:-23
14.设角α为钝角,且3sin 2α=cs α,则sin α= .
解析:因为α为钝角,所以sin α>0,cs α<0.
又因为3sin 2α=cs α,可得6sin αcs α=cs α,
所以sin α=16.
答案:16
15.若方程3sin x+cs x=a在区间[0,2π]上恰有两个不同的实数解,则a的取值范围为 .
解析:由题意可知a=232sin x+12cs x=2sinx+π6.
∵x∈[0,2π],∴x+π6∈π6,13π6.
令t=x+π6,可画出y=2sin t,t∈π6,13π6上的图象(图象略).
∴由3sin x+cs x=a有两个不同的实数解,
再结合y=2sin t,t∈π6,13π6上的图象(图象略),可知a∈(-2,1)∪(1,2).
答案:(-2,1)∪(1,2)
16.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深:
若该港口的水深y(单位:m)和时刻t(0≤t≤24,单位:h)的关系可用函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为 m.
解析:由题意得函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)的周期为T=12,且h+A=7,h-A=3,解得A=2,h=5,且ω=2π12=π6,故y=2sin π6t+5.
因此该港口在11:00的水深为y=2sin 116π+5=4(m).
答案:4
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知点P(1,t)在角θ的终边上,且sin θ=-63.
(1)求t和cs θ的值;
(2)求sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)的值.
解:(1)因为r=|OP|=t2+1,
所以sin θ=tt2+1=-63,解得t=-2.
所以θ为第四象限角.所以cs θ=1-sin2θ=33.
(2)sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)=sinθ-csθ-2sinθ-csθ+3sin θ(-cs θ)=-1.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x-π3+cs2x-π6+2cs2x-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈π4,π2,且f(α)=325,求cs 2α.
解:(1)∵f(x)=12sin 2x-32cs 2x+32cs 2x+12sin 2x+cs 2x=sin 2x+cs 2x=2sin2x+π4,
∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
(2)∵f(α)=325,∴2sin2α+π4=325.
∴sin2α+π4=35.
∵α∈π4,π2,∴3π4≤2α+π4≤5π4.
∴cs2α+π4=-45.
∴cs 2α=cs2α+π4-π4=cs2α+π4csπ4+sin2α+π4sinπ4=-45×22+35×22=-210.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π3,当x∈0,π3时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
解:(1)设f(x)的最小正周期为T,
则T=11π6--π6=2π.由T=2πω,得ω=1.
又B+A=3,B-A=-1,解得A=2,B=1.
令ω·5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z),
即5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z).
解得φ=-π3+2kπ(k∈Z).
故f(x)=2sinx-π3+1.
(2)∵函数y=f(kx)=2sinkx-π3+1的周期为2π3,又k>0,∴k=3.令t=3x-π3.
∵x∈0,π3,∴t∈-π3,2π3.
如图,sin t=s在区间-π3,2π3上有两个不同的解,则s∈32,1.
∴方程f(kx)=m在x∈0,π3时恰好有两个不同的解,则m∈3+1,3,即实数m的取值范围是3+1,3.
20.(本小题满分12分)在函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M2π3,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈π12,π2时,求f(x)的值域.
解:(1)由最低点为M2π3,-2,得A=2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为π2,
得T2=π2,即T=π.故ω=2πT=2ππ=2.
由点M2π3,-2在图象上,得2sin2×2π3+φ=-2,
即sin4π3+φ=-1,故4π3+φ=2kπ-π2(k∈Z),
解得φ=2kπ-11π6(k∈Z).又φ∈0,π2,
所以φ=π6.所以f(x)=2sin2x+π6.
(2)由x∈π12,π2,得2x+π6∈π3,7π6.
当2x+π6=π2,即x=π6时,f(x)取得最大值2;
当2x+π6=7π6,即x=π2时,f(x)取得最小值-1,
故当x∈π12,π2时,f(x)的值域为[-1,2].
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin xcs x+cs2x-12.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-k=0在区间0,π2上有实数解,求实数k的取值范围.
解:(1)∵f(x)=3sin xcs x+cs2x-12=32sin 2x+12cs 2x=sin2x+π6,
∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为 -π3+kπ,π6+kπ (k∈Z).
(2)将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)=sinx+π6的图象.
∵0≤x≤π2.∴π6≤x+π6≤2π3.
∴12≤sinx+π6≤1.∴12≤g(x)≤1.
∴关于x的方程g(x)-k=0在区间0,π2上有实数解,即g(x)的图象与直线y=k有交点.
∴12≤k≤1.∴k的取值范围为12,1.
22.(本小题满分12分)如图,某公园摩天轮的半径为40 m,圆心距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻t(单位:min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(其中A>0,ω>0,|φ|<π),求2 019 min时点P距离地面的高度;
(2)当点P距离地面(50+203)m以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌?
解:(1)依题意,A=40,h=50,T=3,
则ω=2π3.由f(0)=10,|φ|<π,可知φ=-π2.
故在时刻t时点P距离地面的高度
f(t)=40sin2π3t-π2+50(t≥0).
因此f(2 019)=40sin2π3×2 019-π2+50=10,
即2 019 min时点P距离地面的高度为10 m.
(2)由(1)知f(t)=40sin2π3t-π2+50=50-40cs2π3t,其中t≥0.
依题意,令f(t)>50+203,
即-40cs2π3t>203,即cs2π3t<-32,
解得2kπ+5π6<2π3t<2kπ+7π6,k∈N,
即3k+54
由3k+74-3k+54=0.5,
可知转一圈中有0.5 min时间可以看到公园全貌.时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深/m
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
x
-π6
π3
5π6
4π3
11π6
7π3
17π6
y
-1
1
3
1
-1
1
3
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