高中数学人教A版（2019）必修第一册期末复习第4课时　指数函数与对数函数

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册全册综合第4课时课堂检测，共7页。试卷主要包含了化简2lg2+lg的结果为，已知a=lg0等内容，欢迎下载使用。

A组


1.化简2lg(lg a100)2+lg(lga)的结果为( )


A.1B.2C.3D.0


2.关于函数f(x)=12x与函数g(x)=lg12|x|在区间(-∞,0)内的单调性的描述正确的是( )


A.f(x)和g(x)都单调递增


B.f(x)和g(x)都单调递减


C.f(x)单调递增,g(x)单调递减


D.f(x)单调递减,g(x)单调递增


3.已知f(x)是函数y=lg2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )





4.函数f(x)=πx+lg2x的零点所在区间为( )


A.0,18B.18,14C.14,12D.12,1


5.已知a=lg0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则( )


A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a


6.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是( )


A.(0,+∞)B.[0,2]


C.(0,2)D.(2,+∞)


7.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+lg2x,x>1,则函数f(x)的零点为 .


8.函数f(x)=lg2x·lg2(2x)的最小值为 .


9.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .


10.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.


(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;


(2)若ab<0,求不等式f(x+1)>f(x)的解集.




















11.已知函数f(x)=lg2(2x+1).


(1)求证:函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;


(2)若g(x)=lg2(2x-1)(x>0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在区间[1,2]上有解,求m的取值范围.




















B组


1.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上单调递增的是( )


A.(-∞,1]B.-1,43C.0,32D.[1,2)


2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:f1(x)=2lg2(x+1),f2(x)=lg2(x+2),f3(x)=lg2x2,f4(x)=lg2(2x),则是“同形”函数的是( )


A.f2(x)与f4(x)B.f1(x)与f3(x)


C.f1(x)与f4(x)D.f3(x)与f4(x)


3.已知函数f(x)=|lnx|,0e,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 .


4.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lg22x,y=x12,y=22x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为 .





5.已知函数f(x)=lga(1-x)+lga(x+3)(0

(1)求函数f(x)的定义域;


(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
































6.已知函数f(x)=2x-12x+1+lg21+x1-x.


(1)求函数f(x)的定义域;


(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;


(3)若函数g(x)=f(1-x2)+f3x2,求函数g(x)的零点.


参考答案


A组


1.化简2lg(lg a100)2+lg(lga)的结果为( )


A.1B.2C.3D.0


解析:2lg(lg a100)2+lg(lga)=(lg2 100·lga)2+lg(lga)


=2[lg100+lg(lga)]2+lg(lga)=2.


答案:B


2.关于函数f(x)=12x与函数g(x)=lg12|x|在区间(-∞,0)内的单调性的描述正确的是( )


A.f(x)和g(x)都单调递增


B.f(x)和g(x)都单调递减


C.f(x)单调递增,g(x)单调递减


D.f(x)单调递减,g(x)单调递增


解析:f(x)=12x在区间(-∞,0)内单调递减,g(x)=lg12|x|为偶函数,当x∈(0,+∞)时,g(x)=lg12x单调递减,所以g(x)在区间(-∞,0)内单调递增.


答案:D


3.已知f(x)是函数y=lg2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )





解析:因为f(x)是函数y=lg2x的反函数,


所以f(x)=2x.


所以y=f(1-x)=21-x=12x-1,其函数的图象可由函数y=12x的图象向右平移1个单位长度得到,故选C.


答案:C


4.函数f(x)=πx+lg2x的零点所在区间为( )


A.0,18B.18,14C.14,12D.12,1


解析:因为在4个选项中,只有f14f12<0,又函数f(x)的图象是连续不断的,所以函数f(x)的零点所在区间为14,12.


答案:C


5.已知a=lg0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则( )


A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a


解析:因为y=lg0.6x在区间(0,+∞)内为减函数,所以lg0.60.61.


同理,ln 0.5

又0<0.60.5<0.60,所以0

所以a>c>b.


答案:B


6.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是( )


A.(0,+∞)B.[0,2]


C.(0,2)D.(2,+∞)


解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0

答案:C


7.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+lg2x,x>1,则函数f(x)的零点为 .


解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;


当x>1时,由f(x)=1+lg2x=0,解得x=12,


又因为x>1,所以此时方程无解.


综上,函数f(x)的零点只有0.


答案:0


8.函数f(x)=lg2x·lg2(2x)的最小值为 .


解析:由题意得x>0,所以f(x)=lg2x·lg2(2x)=12lg2x·lg2(4x2)=12lg2x·(lg24+2lg2x)=lg2x+(lg2x)2=lg2x+122-14≥-14.


当且仅当x=22时,有f(x)min=-14.


答案:-14


9.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .


解析:分a>1与0




由图知,当a>1时,两个函数的图象有两个交点;当0

所以实数a的取值范围是(1,+∞).


答案:(1,+∞)


10.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.


(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;


(2)若ab<0,求不等式f(x+1)>f(x)的解集.


解:(1)当a>0,b>0时,因为y1=a·2x,y2=b·3x在R上都单调递增,所以函数f(x)在R上单调递增;


当a<0,b<0时,因为y1=a·2x,y2=b·3x在R上都单调递减,所以函数f(x)在R上单调递减.


综上可知,当ab>0时,函数f(x)在R上单调递增.


(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.


①当a<0,b>0时,32x>-a2b,解得x>lg32-a2b;


②当a>0,b<0时,32x<-a2b,解得x

故当a<0,b>0时,所求的解集为x x>lg32-a2b;


当a>0,b<0时,所求的解集为x x

11.已知函数f(x)=lg2(2x+1).


(1)求证:函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;


(2)若g(x)=lg2(2x-1)(x>0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在区间[1,2]上有解,求m的取值范围.


(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1

则f(x1)-f(x2)=lg2(2x1+1)-lg2(2x2+1)=lg22x1+12x2+1.


因为x1

所以lg22x1+12x2+1<0,所以f(x1)

所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.


(2)解:因为g(x)=m+f(x),所以g(x)-f(x)=m.


设h(x)=g(x)-f(x)=lg2(2x-1)-lg2(2x+1)=lg22x-12x+1=lg21-22x+1.


设1≤x1

即13≥12x1+1>12x2+1≥15,


即-23≤-22x1+1<-22x2+1≤-25,


∴13≤1-22x1+1<1-22x2+1≤35,


∴lg213≤h(x1)

即h(x)在区间[1,2]上单调递增且值域为lg213,lg235.


要使g(x)-f(x)=m有解,需m∈lg213,lg235.


故m的取值范围为lg213,lg235.


B组


1.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上单调递增的是( )


A.(-∞,1]B.-1,43C.0,32D.[1,2)


解析:当2-x≥1,即x≤1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递减.


当0<2-x≤1,即1≤x<2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数f(x)在区间[1,2)内单调递增,故选D.


答案:D


2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:f1(x)=2lg2(x+1),f2(x)=lg2(x+2),f3(x)=lg2x2,f4(x)=lg2(2x),则是“同形”函数的是( )


A.f2(x)与f4(x)B.f1(x)与f3(x)


C.f1(x)与f4(x)D.f3(x)与f4(x)


解析:因为f4(x)=lg2(2x)=1+lg2x,所以f2(x)=lg2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度得到y=lg2x的图象,再沿着y轴向上平移1个单位长度可得到f4(x)=lg2(2x)=1+lg2x的图象,根据“同形”函数的定义,f2(x)与f4(x)为“同形”函数.f3(x)=lg2x2=2lg2|x|与f1(x)=2lg2(x+1)不“同形”,故选A.


答案:A


3.已知函数f(x)=|lnx|,0e,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 .


解析:画出函数f(x)的图象如图所示.





设f(a)=f(b)=f(c)=m,不妨设a

由图象易知0

因此-ln a=ln b,ln a+ln b=0,ln ab=ln 1,于是ab=1.所以abc=c∈(e,e2).


答案:(e,e2)


4.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lg22x,y=x12,y=22x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为 .





解析:由题中图象可知,点A(xA,2)在函数y=lg22x的图象上,所以2=lg22xA,xA=222=12.


点B(xB,2)在函数y=x12的图象上,


所以2=xB12,即xB=4.


由点B为(4,2),可知点C为(4,yC).


又点C(4,yC)在函数y=22x的图象上,所以yC=224=14.


又xD=xA=12,yD=yC=14,所以点D的坐标为12,14.


答案:12,14


5.已知函数f(x)=lga(1-x)+lga(x+3)(0

(1)求函数f(x)的定义域;


(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.


解:(1)要使函数f(x)有意义,则有1-x>0,x+3>0,解得-3

故函数f(x)的定义域为(-3,1).


(2)函数f(x)可化为


f(x)=lga[(1-x)(x+3)]


=lga(-x2-2x+3)=lga[-(x+1)2+4].


因为-3

因为0

所以lga4=-2,即a-2=4,解得a=4-12=12.


6.已知函数f(x)=2x-12x+1+lg21+x1-x.


(1)求函数f(x)的定义域;


(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;


(3)若函数g(x)=f(1-x2)+f3x2,求函数g(x)的零点.


解:(1)要使函数f(x)有意义,则有1+x1-x>0,解得-1

(2)函数f(x)为奇函数.理由如下:


∵f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,


对任意的x∈(-1,1),有f(-x)=2-x-12-x+1+lg21-x1+x=1-2x1+2x-lg21+x1-x=-f(x),∴f(x)为奇函数.


(3)要求函数g(x)的零点,即求方程g(x)=0的解.


由f(1-x2)+f3x2=0及f(x)为奇函数,可得f3x2=-f(1-x2)=f(x2-1),任取x1,x2∈(-1,1),且x1

f(x1)-f(x2)=2x1-12x1+1+lg21+x11-x1-2x2-12x2+1+lg21+x21-x2


=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)+lg21+x11-x1·1-x21+x2.


∵-1

(1-x1)(1+x2)-(1+x1)(1-x2)=2(x2-x1)>0,


∴0<1+x11-x1·1-x21+x2<1,∴lg21+x11-x1·1-x21+x2<0,


∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

∴f(x)在定义域(-1,1)内为增函数,


∴由f3x2=f(x2-1),得3x2=x2-1,


解得x=2或x=-12.


验证当x=2时,1-x2<-1,不符合题意,


当x=-12时,符合题意.


∴函数g(x)的零点为x=-12