高中数学人教A版（2019）必修第一册期末复习第5课时　三角函数

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全册综合课堂检测，共7页。试卷主要包含了给出下列结论等内容，欢迎下载使用。

A组


1.函数f(x)=15sinx+π3+csx-π6的最大值为( )


A.65B.1C.35D.15


2.若sinπ2+θ>0,sin(5π-θ)<0,则角θ的终边所在的象限是( )


A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限


3.已知点A的坐标为(43,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB,则点B的纵坐标为( )


A.332B.532C.112D.132


4.已知sin α+cs β=63,sin β-cs α=1,则sin(α-β)等于( )


A.-112B.-16C.16D.112


5.已知tanπ4+θ=3,则sin(3π-2θ)-2cs2θ等于( )


A.-1B.-45C.45D.-34


6.已知cs x=34,则cs 2x= .


7.将函数y=cs 4x的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数的解析式是 .


8.给出下列结论:①函数y=sin(kπ-x)(k∈Z)为奇函数;②函数y=tan2x+π6的图象关于点π12,0对称;③函数y=cs2x+π3的图象的一条对称轴为直线x=-2π3;④若tan(π-x)=2,则sin2x=15.其中正确结论的序号为 .


9.已知α∈π2,π,且sin α=13.


(1)求sin 2α的值;


(2)若sin(α+β)=-35,β∈0,π 2,求sin β的值.

















10.已知函数f(x)=3cs2x-π3-2sin xcs x.


(1)求f(x)的最小正周期;


(2)求证:当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.




















B组


1.若函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )





A.y=2sin2x-π6


B.y=2sin2x-π3


C.y=2sin2x+π6


D.y=2sin2x+π3


2.如图,在扇形OAB中,半径OA=4,弦长AB=4,则该扇形的面积为( )





A.16π3B.8π3


C.8πD.43


3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移周期的112,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一个对称中心是( )


A.π24,0B.-π6,0C.π6,0D.π12,0


4.4cs 50°-tan 40°=( )


A.2B.2+32C.3D.22-1


5.将函数f(x)=sin 2xcs φ+cs 2xsin φ|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后的图象关于原点对称,则函数f(x)在区间0,π2上的最小值为 .


6.若f(x)=sin x+cs x在区间[a,0]上单调递增,则a的最小值是 .


7.已知函数f(x)=2csπ2-xsin x-(sin x-cs x)2.


(1)若x∈0,π2,求函数f(x)的值域;


(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π8个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的图象的对称中心.


























8.若函数f(x)=23sin xcs x+2cs2x+m-1在区间0,π2上的最小值为-2.


(1)求m的值及f(x)图象的对称轴;


(2)求f(x)的单调递增区间.


.参考答案


A组


1.函数f(x)=15sinx+π3+csx-π6的最大值为( )


A.65B.1C.35D.15


解析:由诱导公式可得csx-π6=csπ2-x+π3=sinx+π3,


故f(x)=15sinx+π3+sinx+π3=65sinx+π3.


所以函数f(x)的最大值为65.


答案:A


2.若sinπ2+θ>0,sin(5π-θ)<0,则角θ的终边所在的象限是( )


A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限


解析:∵sinπ2+θ>0,sin(5π-θ)<0,


∴cs θ>0,sin θ<0,


根据三角函数的定义sin θ=yr<0,cs θ=xr>0.


∴y<0,x>0.故角θ在第四象限,故选D.


答案:D


3.已知点A的坐标为(43,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB,则点B的纵坐标为( )


A.332B.532C.112D.132


解析:由题意可知OA=OB=7.


设OA与x轴所成的角为α,


可知sin α=17,cs α=437.


所以sinα+π3=sin αcsπ3+cs αsin π3=17×12+437×32=1314.


所以点B的纵坐标为OBsinα+π3=132.


答案:D


4.已知sin α+cs β=63,sin β-cs α=1,则sin(α-β)等于( )


A.-112B.-16C.16D.112


解析:由sin α+cs β=63的等式两边平方,得sin2α+cs2β+2sin αcs β=23①.


把sin β-cs α=1的两边平方,


得sin2β+cs2α-2sin βcs α=1②.


由①+②得sin(α-β)=-16.故选B.


答案:B


5.已知tanπ4+θ=3,则sin(3π-2θ)-2cs2θ等于( )


A.-1B.-45C.45D.-34


解析:∵tanπ4+θ=tanθ+11-tanθ=3,∴tan θ=12,


∴sin(3π-2θ)-2cs2θ=sin 2θ-2cs2θ


=sin2θ-2cs2θ1=2sinθcsθ-2cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ-2tan2θ+1=-45.


答案:B


6.已知cs x=34,则cs 2x= .


解析:因为cs x=34,


所以cs 2x=2cs2x-1=2×342-1=18.


答案:18


7.将函数y=cs 4x的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数的解析式是 .


解析:函数y=cs 4x的图象向左平移π8个单位长度得到y=cs 4x-π8的图象,y=cs4x-π2=sin 4x.


答案:y=sin 4x


8.给出下列结论:①函数y=sin(kπ-x)(k∈Z)为奇函数;②函数y=tan2x+π6的图象关于点π12,0对称;③函数y=cs2x+π3的图象的一条对称轴为直线x=-2π3;④若tan(π-x)=2,则sin2x=15.其中正确结论的序号为 .


解析:y=sin(kπ-x)=(-1)k-1sin x是奇函数,①正确;


tan2×π12+π6=3≠0,②错误;


cs2×-2π3+π3=-1,③正确;


由tan(π-x)=-tan x=2,可知tan x=-2.


故sin2x=sin2xsin2x+cs2x=tan2xtan2x+1=45,④错误.


综上可知正确结论的序号为①③.


答案:①③


9.已知α∈π2,π,且sin α=13.


(1)求sin 2α的值;


(2)若sin(α+β)=-35,β∈0,π 2,求sin β的值.


解:(1)∵α∈π2,π,且sin α=13,


∴cs α=-223.∴sin 2α=2sin αcs α=-429.


(2)∵α∈π2,π,β∈0,π2,


∴α+β∈π2,3π2,又sin(α+β)=-35,


∴cs(α+β)=-45.


∴sin β=sin[(α+β)-α]


=sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α


=-35×-223--45×13=4+6215.


10.已知函数f(x)=3cs2x-π3-2sin xcs x.


(1)求f(x)的最小正周期;


(2)求证:当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.


(1)解:因为f(x)=32cs 2x+32sin 2x-sin 2x=12sin 2x+32cs 2x=sin2x+π3,


所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.


(2)证明:因为-π4≤x≤π4,所以-π6≤2x+π3≤5π6.


所以sin2x+π3≥sin-π6=-12.


所以当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.


B组


1.若函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )





A.y=2sin2x-π6


B.y=2sin2x-π3


C.y=2sin2x+π6


D.y=2sin2x+π3


解析:由题图知,A=2,周期T=2π3--π6=π,


所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ).


方法一:因为函数图象过点π3,2,


所以2=2sin2×π3+φ.


所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z).


令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2x-π6,故选A.


方法二:因为函数图象过点-π6,-2,


所以-2=2sin2×-π6+φ,


所以2×-π6+φ=2kπ-π2,k∈Z,


即φ=2kπ-π6,k∈Z.令k=0,得φ=-π6,


所以y=2sin2x-π6.故选A.


答案:A


2.如图,在扇形OAB中,半径OA=4,弦长AB=4,则该扇形的面积为( )





A.16π3B.8π3


C.8πD.43


解析:在扇形OAB中,半径OA=4,弦长AB=4,


故∠AOB=π3.


所以该扇形的面积为S扇形OAB=12×π3×16=8π3.


答案:B


3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移周期的112,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一个对称中心是( )


A.π24,0B.-π6,0C.π6,0D.π12,0


解析:由已知周期T=π.


故可知函数f(x)=sin 2x的图象向右平移π12个单位长度,得到函数g(x)=sin2x-π12=sin2x-π6的图象,


令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=π12+kπ2,k∈Z.


故y=g(x)的一个对称中心是π12,0.


答案:D


4.4cs 50°-tan 40°=( )


A.2B.2+32C.3D.22-1


解析:4cs 50°-tan 40°=4sin 40°-tan 40°


=4sin40°cs40°-sin40°cs40°


=2sin80°-sin(30°+10°)cs40°


=2cs10°-12cs10°-32sin10°cs40°


=32cs10°-32sin10°cs40°=3cs(30°+10°)cs40°=3.


答案:C


5.将函数f(x)=sin 2xcs φ+cs 2xsin φ|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后的图象关于原点对称,则函数f(x)在区间0,π2上的最小值为 .


解析:由已知f(x)=sin(2x+φ)|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后,得到函数y=sin2x+π3+φ=sin2x+2π3+φ的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得2π3+φ=kπ,k∈Z,解得φ=π3+kπ,k∈Z,由|φ|<π2.得φ=π3.


故f(x)=sin2x+π3.


因为x∈0,π2,所以2x+π3∈π3,4π3.


所以当2x+π3=4π3时,f(x)=sin2x+π3取得最小值为-32.


答案:-32


6.若f(x)=sin x+cs x在区间[a,0]上单调递增,则a的最小值是 .


解析:f(x)=sin x+cs x=2sinx+π4.


由-π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,


得-3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ,k∈Z.


当k=0时,可知f(x)的一个单调递增区间为-3π4,π4.


因为f(x)在区间[a,0]上单调递增,


所以0>a≥-3π4.所以a的最小值是-3π4.


答案:-3π4


7.已知函数f(x)=2csπ2-xsin x-(sin x-cs x)2.


(1)若x∈0,π2,求函数f(x)的值域;


(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π8个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的图象的对称中心.


解:(1)f(x)=2csπ2-xsin x-(sin x-cs x)2


=2sin2x-sin2x+2sin xcs x-cs2x


=sin2x-cs2x+2sin xcs x


=sin 2x-cs 2x=2sin2x-π4.


∵x∈0,π2,∴-π4≤2x-π4≤3π4.


∴-1≤2sin2x-π4≤2.


∴函数f(x)的值域是[-1,2].


(2)由图象变换可知


g(x)=2sinx+π8-π4=2sinx-π8.


由x-π8=kπ,k∈Z,得x=π8+kπ,k∈Z.


所以所求对称中心为π8+kπ,0(k∈Z).


8.若函数f(x)=23sin xcs x+2cs2x+m-1在区间0,π2上的最小值为-2.


(1)求m的值及f(x)图象的对称轴;


(2)求f(x)的单调递增区间.


解:(1)由已知得f(x)=3sin 2x+cs 2x+m=2sin2x+π6+m.


∵x∈0,π2,∴π6≤2x+π6≤7π6,


∴当2x+π6=7π6,即x=π2时,


f(x)min=2×-12+m=-2.


∴m=-1.∴f(x)=2sin2x+π6-1.


由2x+π6=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ2+π6,k∈Z.


∴f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6,k∈Z.


(2)由-π2+2kπ ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z.


可得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.


故f(x)的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z