初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课后复习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课后复习题，共17页。试卷主要包含了3，DH等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（ ）





A．4B．C．6D．


2．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（ ）





A．①B．②C．③D．④


3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（ ）





A．4B．8C．D．6


4．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（ ）


①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．





A．1B．2C．3D．4


5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（ ）





A．6B．8C．10D．12


6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）





A．（2，）B．（，2）C．（，3）D．（3，）


7．如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（ ）





A．B．C．D．


二．填空题


8．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG＝2，则四边形BCDG的面积为 ．





9．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝ ．





10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 ．





11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：


①∠BAE＝∠C；


②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；


③∠ADF＝2∠CDF；


④四边形AGFD是菱形；


⑤CH＝DF．


其中正确的结论是 ．





三．解答题


12．已知：在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E和点F分别在BC边和CD边上，连接AE、AF、AC，∠EAF＝60°．


（1）如图1，求证：BE＝CF；


（2）如图2，当点E是BC边中点时，连接对角线BD分别交AE、AC、AF于点M、O、N，连接EF交对角线AC于点P，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积等于△PEC面积3倍的三角形或四边形．





13．已知菱形ABCD的对角线交于点O，∠DAB＝60°，P是直线BD上任意一点（异于点B，O，D），过点P作平行于AC的直线交直线CD于点F，交直线BC于点E





（1）当点P在线段BD上时，如图 ①，易证：BD＝PE+PF（不用证明）；


（2）当点P在线段DB的延长线上时，如图②；当点P在线段BD的延长线上时，如图③；线段BD，PE，PF之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择其中一种情况加以证明．


14．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．


（1）求证：△ECG≌△GHD；


（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．


（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．





15．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F，求证：四边形AFCE是菱形．





16．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO＝MO，连接BN与ND．


（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；


（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．





17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC的延长线于点F．


（1）求证：四边形ADCF是菱形；


（2）若AC＝8，AB＝9，求菱形ADCF的面积．





18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．


（1）求证：四边形ADCF是菱形；


（2）若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积．





19．已知：在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为点O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．


（1）如图1，求证：四边形BFDE是菱形；


（2）如图2，当∠ABC＝90°，且AE＝OF时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段长度都等于OE长度的倍．





20．已知：∠1＝∠2，3＝∠4，过点P作PD∥BC交直线AB于点D，交直线AC于点H，PK∥AC交直线BC于点K，请你解答下列问题：





（1）如图1，求证：BD＝DH﹣PK；


（2）如图2、3，DH、PK又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需要证明；


（3）在（1）（2）的条件下，若DB＝10，CH＝4，则DH＝ ．








参考答案


一．选择题


1． B．


2． C．


3． A．


4． D．


5． C．


6． D．


7． B．


二．填空题


8． ．


9． ．


10． 20．


11．①②④⑤．


三．解答题


12．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，


∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，AB∥CD，AC平分∠BCD，


∴∠BCD+∠B＝180°，


∵∠B＝60°，


∴∠ACD＝120°﹣60°＝60°＝∠B，△ABC是等边三角形，


∴AB＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60°，


∵∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF+∠EAC＝60°，


∴∠BAE＝∠CAF，


在△ABE和△ACF中，，


∴△ABE≌△ACF（ASA），


∴BE＝CF；


（2）解：图2中面积等于△PEC面积3倍的三角形为△AEP和△AFP，四边形为四边形BOPE和四边形△DOPF；理由如下：


由（1）得：△ABE≌△ACF，


∴BE＝CF，AE＝AF，


∵∠EAF＝60°，


∴△AEF是等边三角形，


∵点E是BC边中点，


∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC＝CD＝CF，


∴F是CD的中点，


∴EF是△BCD的中位线，


∴EF∥BD，


∴EP是△BOC的中位线，


∴PE＝OB，


∵AC⊥BD，∠BCD＝120°，


∴EF⊥AC，∠CEF＝∠CFE＝30°，


∴PC＝CE，


设PC＝x，则CE＝2x，PE＝x，AE＝CE＝2x，


∵△PEC的面积＝PC×PE＝×x×x＝x2，△AEC的面积＝CE×AE＝×2x×2x＝2x2，


∴△AEC的面积＝4△PEC的面积，


∴△AEP的面积＝3△PEC的面积，


同理：△AFP的面积＝3△PEC的面积；


∵PE∥OB，PE＝OB，


∴△PEC∽△OBC，


∴△OBC的面积＝4△PEC的面积，


∴四边形BOPE的面积＝4△PEC的面积，


同理：四边形DOPF的面积＝4△PEC的面积．


13．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，


∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，


∴tan∠BAO＝＝，


∴AO＝BO，AC＝BD，


延长FP交AB于点G，如图①所示：





∵AB∥DC，AC∥FG，


∴四边形ACFG是平行四边形，


∴AC＝FG，


∵EG∥AC，


∴＝＝，


又∵OA＝OC，


∴EP＝PG，


∴AC＝FG＝PF+PG＝PE+PF，


∴BD＝PE+PF；


（2）当点P在线段DB的延长线上时，图②的结论为BD＝PF﹣PE；


当点P在线段BD的延长线上时，图③的结论为BD＝PE﹣PF．


图②证明：如图，延长AB交EF于点G，





∵四边形ABCD是菱形


∴AB∥CD，


∵EF∥AC，


∴BP平分∠EBG，∠BAC＝∠BCA，


∵EG∥AC，


∴∠BEG＝∠BGE，


∵OP⊥EG，


∴PE＝PG，


由（1）知AC＝BD，


∴AC＝FG＝PF﹣PG＝PF﹣PE，


∴BD＝PF﹣PE．


14．解：（1）∵AF＝FG，


∴∠FAG＝∠FGA，


∵AG平分∠CAB，


∴∠CAG＝∠FAG，


∴∠CAG＝∠FGA，


∴AC∥FG，


∵DE⊥AC，


∴FG⊥DE，


∵FG⊥BC，


∴DE∥BC，


∴AC⊥BC，


∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，


∵F是AD的中点，FG∥AE，


∴H是ED的中点，


∴FG是线段ED的垂直平分线，


∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，


∴∠CGE＝∠GDE，


∴△ECG≌△GHD；


（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，


∴GC＝GP，而AG＝AG，


∴△CAG≌△PAG，


∴AC＝AP，


由（1）可得EG＝DG，


∴Rt△ECG≌Rt△DPG，


∴EC＝PD，


∴AD＝AP+PD＝AC+EC；


（3）四边形AEGF是菱形，


证明：∵∠B＝30°，


∴∠ADE＝30°，


∴AE＝AD，


∴AE＝AF＝FG，


由（1）得AE∥FG，


∴四边形AEGF是平行四边形，


∴四边形AEGF是菱形．





15．证明：∵四边形ABCD是矩形，


∴AE∥FC，


∴∠EAO＝∠FCO，


∵EF垂直平分AC，


∴AO＝CO，FE⊥AC，


在△AOE和△COF中，


，


∴△AOE≌△COF（ASA），


∴EO＝FO，


∴四边形AFCE为平行四边形，


又∵FE⊥AC，


∴平行四边形AFCE为菱形．


16．（1）解：四边形BNDM是平行四边形，理由如下：


∵O是BD的中点，


∴OB＝OD，


∵NO＝MO，


∴四边形BNDM是平行四边形；


（2）解：四边形BNDM是菱形；理由如下：


∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，


∴BM＝AC，DM＝AC，


∴BM＝DM，


∴四边形BNDM是菱形．


17．（1）证明：∵AF∥BC，


∴∠AFE＝∠DBE，


∵E是AD的中点，


∴AE＝DE，


在△AFE和△DBE中，，


∴△AFE≌△DBE（AAS）；


∴AF＝DB．


∵AD为BC边上的中线


∴DB＝DC，


∴AF＝CD．


∵AF∥BC，


∴四边形ADCF是平行四边形，


∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，


∴AD＝BC＝CD，


∴四边形ADCF是菱形；


（2）解：连接DF，如图所示：


∵AF∥BD，AF＝BD，


∴四边形ABDF是平行四边形，


∴DF＝AB＝9，


∵四边形ADCF是菱形，


∴S菱形ADCF＝AC▪DF＝×8×9＝36．





18．（1）证明：∵E是AD的中点，


∴AE＝DE，


∵AF∥BC，


∴∠AFE＝∠DBE，


在△AEF和△DEB中，，


∴△AEF≌△DEB（AAS），


∴AF＝DB，


∴四边形ADCF是平行四边形，


∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，


∴AD＝BC＝CD，


∴四边形ADCF是菱形；


（2）解：∵D是BC的中点，


∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB•AC＝．


19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB＝CD，AD∥BC，


∴∠EDO＝∠FBO，


∵EF垂直平分BD，


∴OB＝OD，


在△EOD和△FOB中，，


∴△DOE≌△BOF（ASA）；


∴OE＝OF，


又∵OB＝OD，


∴四边形EBFD是平行四边形，


∵EF⊥BD，


∴四边形BFDE为菱形．


（2）解：AB、CD、OB、OD四条线段都等于OE长度的倍，理由如下：


由（1）得：OE＝OF，∠OBE＝∠OBF，


∵AE＝OF，


∴AE＝OE，


∵▱ABCD中，∠ABC＝90°，


∴四边形ABCD是矩形，


∴∠A＝90°，


∵EF⊥BD，


∴∠BOE＝90°，


在Rt△BAE和Rt△BOE中，，


∴Rt△BAE≌Rt△BOE（HL），


∴AB＝OB＝OD，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF，


∵∠ABC＝90°，


∴∠ABE＝30°，


∴AB＝AE＝OE，


∴AB＝CD＝OB＝OD＝OE．


20．（1）证明：如图1所示：


∵PH∥BC，PK∥AC，


∴四边形PKCH是平行四边形，∠2＝∠DPB，∠3＝∠CPH，


∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，


∴∠1＝∠DPB，∠4＝∠CPH，


∴BD＝DP，PH＝HC，


∴四边形PKCH为菱形，


∴PK＝HC＝PH，


∴DH＝DP+PH＝BD+HC＝BD+PK，


∴BD＝DH﹣PK；


（2）解：图2猜想：BD＝DH+PK；理由如下：如图2所示：


∵PH∥BC，PK∥AC，


∴四边形PKCH是平行四边形，∠2＝∠DPB，∠3＝∠CPH，


∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，


∴∠1＝∠DPB，∠4＝∠CPH，


∴BD＝DP，PH＝HC，


∴四边形PKCH为菱形，


∴PK＝PH，


∴DP＝DH+PK，


∴BD＝DH+PK；


图3猜想：BD＝DH﹣PK；理由如下：如图3所示：


∵PH∥BC，PK∥AC，


∴四边形PKCH是平行四边形，∠2＝∠DPB，∠3＝∠CPH，


∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，


∴∠1＝∠DPB，∠4＝∠CPH，


∴BD＝DP，PH＝HC，


∴四边形PKCH为菱形，


∴PK＝PH，


∴DP＝DH﹣PK，


∴BD＝DH﹣PK；


（3）解：在（1）的条件下，


∵CH＝PK，BD＝DH﹣PK，


∴DH＝BD+CH＝10+4＝14；


在（2）的条件下，图3同（1）得：DH＝14；


图2情况下，∵CH＝PK，BD＝DH+PK，


∴DH＝BD﹣CH＝10﹣4＝6．


故答案为：14或6．