人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试同步训练题

这是一份人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试同步训练题，共16页。试卷主要包含了如图，已知，【问题背景】等内容，欢迎下载使用。










1．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．


（1）求证：AD＝AG；


（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．














2．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F


（1）如图1，若∠ACD＝60゜，则∠AFB＝ ；


（2）如图2，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ （用含α的式子表示）；


（3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．














3．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC＝AD，BC＝BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？


（1）请你帮他们解答，并说明理由．


（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE＝DE，你知道为什么吗？（如图2）


（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并写出结论，不要求说明理由．（如图3）

















4．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．


（1）判断△AOG的形状，并予以证明；


（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；


（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．














5．已知：在△ABD和△ACE中，AD＝AB，AC＝AE．


（1）如图1，若∠DAB＝∠CAE＝60°，求证：BE＝DC；


（2）如图2，若∠DAB＝∠CAE＝n°，求∠DOB的度数．




















6．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝90°，P为直线AC上一点，过A作AD⊥BP于D，交直线BC于Q．


（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP＝AQ．


（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ．


（3）如图3，当P在线段AC的延长线上时，∠DBA＝ 时，AQ＝2BD．




















7．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．


（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．


答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是 、 ．


（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 、 ．


（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．











8．如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD＝CE，∠ACE＝60°．


（1）求证：△BCD≌△ACE；


（2）延长BD交AE于F，连接CF，若AF＝CF，猜想线段BF、AF的数量关系，并证明你的猜想．





9．【问题背景】


如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．


小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．


【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．


【学以致用】


如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．





10．如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：


（1）在图②中，BD与CE的数量关系是 ；


（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．





参考答案


1．（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，


∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，


∴∠ABD＝∠ACG，


在△ABD和△GCA中


，


∴△ABD≌△GCA（SAS），


∴AD＝GA（全等三角形的对应边相等）；





（2）位置关系是AD⊥GA，


理由为：∵△ABD≌△GCA，


∴∠ADB＝∠GAC，


又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，


∴∠AED＝∠GAD＝90°，


∴AD⊥GA．





2．解：（1）∵∠ACD＝∠BCE，


∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，


∴∠ACE＝∠DCB，


在△ACE和△DCB中





∴△ACE≌△DCB，


∴∠CAE＝∠CDB，


∴∠AFB＝∠CDB+∠CDA+∠DAE


＝∠CDA+∠DAE+∠BAE


＝∠CDA+∠DAC


＝180°﹣60°


＝120°，


故答案为：120°．





（2）解：∵∠ACD＝∠BCE，


∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，


∴∠ACE＝∠DCB，


在△ACE和△DCB中





∴△ACE≌△DCB，


∴∠CAE＝∠CDB，


∴∠AFB＝∠CDB+∠CDA+∠DAE


＝∠CDA+∠DAE+∠BAE


＝∠CDA+∠DAC


＝180°﹣∠ACD


＝180°﹣α，


故答案为：180°﹣α





（3）∠AFB＝180﹣α，


证明：∵∠ACD＝∠BCE，


∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，


∴∠ACE＝∠DCB，


在△ACE和△DCB中





∴△ACE≌△DCB，


∴∠AEC＝∠DBC，


∴∠AFB＝∠AEC+∠CEB+∠EBD


＝∠DBC+∠CEB+∠EBC


＝∠CEB+∠EBC


＝180°﹣∠ECB


＝180°﹣α，


即∠AFB＝180°﹣α


3．解：（1）△ACB≌△ADB，理由如下：


如图1，∵在△ACB与△ADB中，


，


∴△ACB≌△ADB（SSS）；





（2）如图2，∵由（1）知，△ACB≌△ADB，则∠CAE＝∠DAE．


∴在△CAE与△DAE中，


，


∴△CAE≌△DAE（SAS），


∴CE＝DE；





（3）如图3，PC＝PD．


理由同（2），△APC≌△APD（SAS），则PC＝PD．





4．解：（1）△AOG的形状是等腰三角形，


理由如下：


∵AC∥y轴，


∴∠CAO＝∠GOA，


∵AO平分∠BAC，


∴∠CAO＝∠GAO，


∴∠GOA＝∠GAO，


∴AG＝OG，


∴△AOG是等腰三角形；


（2）如图1，接连BC，过O作OE⊥AB于E，过点C作CD⊥x轴于点D，


∵B、C关于y轴对称，AC∥y轴，


∴AC⊥BC，


在Rt△COD和Rt△BOE中，


，


∴△COD≌△BOE（HL），


∴∠DCO＝∠EBO，


∴∠BAC+∠BOC＝180°，


设∠BAO＝∠CAO＝x，∠OBC＝∠OCB＝y，


∴2x+∠BOC＝180°，


又∵2y+∠BOC＝180°，


∴x＝y，故∠OAC＝∠OBC，


∴∠AOB＝∠ACB＝90°，


∴AO⊥OB；


（3）如图2，连BC，作MF⊥x轴于F，BH⊥x轴于H，


则∠ACB＝90°，


∵∠ACM＝45°，


∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，


∴BM平分∠ABC，设∠ABM＝∠CBM＝z，


由（2）可得∠OMB＝x+z，∠OBM＝y+z＝x+z


∴∠OMB＝∠OBM，


∴OM＝OB


∴△OBM为等腰直角三角形，


∵，


∴△OMF≌△OBH（AAS），


∴OF＝BH＝1，MF＝OH＝3，


∴M（﹣1，3）．





5．证明：（1）∵∠DAB＝∠CAE


∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC


∴∠DAC＝∠BAE，


在△ADC和△ABE中，


，


∴△ADC≌△ABE，


∴DC＝BE，


（2）同理得：△ADC≌△ABE，


∴∠ADC＝∠ABE，


又∵∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠OBD，


＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD﹣∠ABE，


∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD﹣∠ADC，


＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD，


∴∠DOB＝∠DAB＝n°．


6．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∠APD＝∠BPC，


∴∠DAP＝∠CBP，


在△ACQ和△BCP中


，


∴△ACQ≌△BCP（ASA），


∴BP＝AQ；





（2）解：如图2所示：


∵∠ACQ＝∠BDQ＝90°，∠AQC＝∠BQD，


∴∠CAQ＝∠DBQ，


在△AQC和△BPC中


，


∴△AQC≌△BPC（ASA），


∴QC＝CP，


∵∠QCD＝90°，


∴∠CQP＝∠CPQ＝45°；





（3）解：当∠DBA＝22.5°时，AQ＝2BD；


∵AC＝BC，∠ACB＝90°，


∴∠BAC＝45°，


∴∠P＝22.5°，


∴∠DBA＝∠P，


∴AP＝AB，


∵AD⊥BP，


∴AD＝DP，


∵∠ACQ＝∠ADP＝90°，∠PAD＝∠QAC，


∴∠P＝∠Q，


在△ACQ和△BCP中


，


∴△ACQ≌△BCP（ASA），


∴BP＝AQ，


∴此时AQ＝BP＝2BD．


故答案为：22.5°．





7．解：（1）AB＝AP，AB⊥AP；


（2）BQ＝AP，BQ⊥AP；


（3）成立．


证明：如图，∵∠EPF＝45°，


∴∠CPQ＝45°．


∵AC⊥BC，


∴∠CQP＝∠CPQ，


CQ＝CP．


在Rt△BCQ和Rt△ACP中，





∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）


∴BQ＝AP；


延长QB交AP于点N，


∴∠PBN＝∠CBQ．


∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，


∴∠BQC＝∠APC．


在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，


∴∠APC+∠PBN＝90°．


∴∠PNB＝90°．


∴QB⊥AP．


8．证明：（1）∵△ABC是等边△，


∴BC＝AC，∠BCD＝60°，


在△BCD和△ACE中，


．


∴△BCD≌△ACE（SAS）；


（2）BF＝2AF，


理由：∵AF＝CF，AB＝BC，


∴BF⊥AC且平分AC，


∴BD为等边△ABC中AC边上的高，


∴BD平分∠ABC，


∴∠ABD＝∠DBC＝30°，


∵△BCD≌△ACE，


∴∠DBC＝∠CAE，


∴∠ABD＝∠CAE＝30°，


∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝90°，


∴在Rt△ABF中，BF＝2AF．


9．（1）解：如图1，


在△ABE和△ADG中，


∵，


∴△ABE≌△ADG（SAS），


∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，


∵∠EAF＝∠BAD，


∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，


∴∠EAF＝∠GAF，


在△AEF和△GAF中，


∵，


∴△AEF≌△AGF（SAS），


∴EF＝FG，


∵FG＝DG+DF＝BE+DF，


∴EF＝BE+DF；


故答案为：EF＝BE+DF．





（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；


理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，


在△ABE和△ADG中，


∵，


∴△ABE≌△ADG（SAS），


∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，


∵∠EAF＝∠BAD，


∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，


∴∠EAF＝∠GAF，


在△AEF和△GAF中，


∵，


∴△AEF≌△AGF（SAS），


∴EF＝FG，


∵FG＝DG+DF＝BE+DF，


∴EF＝BE+DF；





（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，


在△AEB与△CGB中，


∵，


∴△AEB≌△CGB（SAS），


∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．


∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，


∴∠ABE+∠CBF＝45°，


∴∠CBF+∠CBG＝45°．


在△EBF与△GBF中，


∵，


∴△EBF≌△GBF（SAS），


∴EF＝GF，


∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．











10．解：（1）BD＝CE，故答案为：BD＝CE；


（2）AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，


∵∠DAE＝∠BAC，


∴∠CAE＝∠BAD，


在△BAD和△CAE中，


，


∴△CAE≌△BAD（SAS），


∴∠ACE＝∠ABD，


∵DM＝BD，EN＝CE，


∴BM＝CN，


在△ABM和△ACN中，


，


∴△ABM≌△ACN（SAS），


∴AM＝AN，


∴∠BAM＝∠CAN，即∠MAN＝∠BAC．