初中数学人教版七年级上册4.3 角综合与测试教学设计

这是一份初中数学人教版七年级上册4.3 角综合与测试教学设计，共10页。教案主要包含了要点梳理，典型例题，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

【要点梳理】


知识点一、角的概念


角的定义：


（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．


图2


图1








（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．


要点诠释：


（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．


（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．





2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：











3. 角的画法


（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角；


（2）用量角器可以画出任意给定度数的角；


（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．


知识点二、角的比较与运算


1. 角度制及其换算


角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．


1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．





2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．


方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．


方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．


如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．





3. 角的和、差关系


如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．








4. 角平分线


从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，


∠AOC＝∠BOC =∠AOB．





知识点三、余角和补角


1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．


类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．


2．性质：（1）等角的余角相等．（2）等角的补角相等．


要点诠释：


(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．


(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．


知识点四、方位角


在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．





知识点五、钟表上有关夹角问题


钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．


【典型例题】


类型一、角的比较与运算


1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．



































2. 计算下列各题：


(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；























(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．























举一反三：


【变式】计算：


(1)23°45′36″+66°14′24″； (2)180°-98°24′30″；




















(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．




















3. 如图所示表示两块三角板．





(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；


(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．











【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线，某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON=（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来。用类比的方法，请你总结出∠MOG和∠BOG, ∠AOG的关系。




















类型二、余角与补角


4.已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．


(1)当点C、E、F在直线AB的同侧(如图①所示)时．试说明∠BOE＝2∠COF；


(2)当点C与点E、F在直线AB的两旁(如图②所示)时(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；


(3)将如图②中的射线OF绕点O顺时针旋转m°(0＜m＜180)，得到射线OD，设∠AOC＝n°，若∠BOD＝，则∠DOE的度数是多少?(用含n的式子表示)









































举一反三：


【变式】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分AOB，OE在BOC内，且BOE＝EOC，DOE＝70°，求EOC的度数.






































5. 轮船在海面上以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午8时到达A处，测得灯塔C在北偏西45°方向，上午10时到达B处，又测得灯塔C在北偏西60°方向．


(1)根据题设条件，选用适当的比例尺画出图形；


(2)量出BC的图上距离，并推算出BC的实际距离；轮船继续向北航行到达D处，这时灯塔C在轮船的正西方向，这时CD的实际距离是多少?


(3)你能确定轮船到达D处时的时间吗?


解：(1)如图所示．作图步骤如下：














类型三、钟表上有关夹角问题


6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?




















【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点多回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?
































【巩固练习】


一、选择题


1．关于平角、周角的说法正确的是( )．


A．平角是一条直线. B．周角是一条射线


C．反向延长射线OA，就成一个平角． D．两个锐角的和不一定小于平角





2．在时刻2∶15时，时钟上的时针与分针间的夹角是 （ ）


A．22.5° B．85° C．75 ° D．60°





3．如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值（ ）


A．小于180° B．等于180° C．大于180° D．不能确定





4．如图，是由四个1×1的小正方形组成的大正方形，则∠1+∠2+∠3+∠4=（ ）


A．180° B．150° C．135° D．120°





5．如图所示，∠1是锐角，则∠1的余角是( )．


A． B．


C． D．





6. 如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的式子是 （ ）


A．2α－β B．α－β C．α＋β D．以上都不正确

















7．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应该是( )．


A．65° B．35° C．165° D．135°


8．如图将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B、C重合），使得点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则关于∠GFH的度数α说法正确的是（ ）


A


B


C


D


G


E


F


H


A． 90°﹤α﹤180°


B． 0°﹤α﹤90°


C． α= 90°


D．α随折痕GF位置的变化而变化





二、填空题


9．把一个平角16等分，则每份(用度、分、秒表示)为_______．





10．如下左图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB:∠AOD＝2:11，则∠AOB＝_______．











11. 如上右图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转周．


(1)指针所指的方向为北偏西________；


(2)图中互余的角有________对；与∠BOC互补的角是________．








12. 如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．


（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系： ，判断的依据是 ．


（2）若∠COF=35°，∠BOD= ．




















13．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于 ．





14．如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有__________个角；如果引出5条射线，有 __ 个角；如果引出条射线，有 _ 个角．





三、解答题


15．若∠AOB＝2∠BOC，则OC为∠AOB的平分线，这句话对吗?











16.如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°．


(1)求∠AOB的度数．


(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数


























17. 如图，已知∠AOB是直角， OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．


O


B


C


E


A


F


（1）若∠BOC=60°，求∠EOF的度数；


（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；


（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？






































18．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．


(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；


(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系? 请说明理由．