初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数教案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数教案，共9页。教案主要包含了销售问题，抛物线型问题，简单的几何问题等内容，欢迎下载使用。

一、销售问题


例1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x．


(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；


(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

















例2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？




















例3.（山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．


（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？


（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？


（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）





























针对练习1


1.（四川南充，18，8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：


（1）求出y与x之间的函数关系式；


（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？


y(件)


x(元/件)


30


50


130


150


O























2.（本题9分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：


销售单价（元∕件）…… 20 30 40 50 60 ……


每天销售量（件）…… 500 400 300 200 100 ……











（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；


（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）


（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？















































二、抛物线型问题


例4.某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m．


(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？


(2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的


最大摸高为2.9 m，那么他能否获得成功？



































例5.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管(如图a)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．


(1)求该抛物线的函数关系式；


(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度．





















































针对练习2.


1.某跳水运动员在进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 m，入水处距池边的距离为4 m，同时运动员在距水面高度5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．


(1)求这条抛物线的函数关系式；


(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，


且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，


问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．




















2.如图所示，某隧道设计为双向回车道，车道宽22 m，要求通过车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成是抛物线形状，若最大拱高为6 m，求隧道应设计的拱长是多少．


























三、简单的几何问题


例6. 如图，在矩形中，，，点从出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，分别到达，两点后就停止运动．


Ｄ


Ｃ


Ｑ


Ｂ


Ｐ


Ａ


（1）设运动开始后第时，五边形的面积为，试写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．


（2）第几秒五边形的面积最小？是多少？


























例7.Rt△ABC以1m/s的速度沿BC方向从矩形移出，直到AB与CD重合，AB＝m，∠ACB=30°，设s时，三角形与矩形重合部分面积为．


(1) 经过多少秒，AB与CD重合？； (2) 写出与之间的函数关系式


(3)经过多少秒，阴影部分的面积S最大，最大面积是多少？












































巩固练习


1.用长木条，做成如图的窗框（包括中间棱），若不计损耗，窗户的最大面积为．














2. 用长的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）


Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ．











3.某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行预测，提供了两个方面的信息，如图1，图2．





注：图1、图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；图1的图像是线段，图2的图像是抛物线．


请你根据图像提供的信息说明：(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．

















0


20


40


60


80


1


2


3


4


5


6


(万件)


(元)


4.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．


已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支


（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量


（万件）与销售单价（元）之间存在着如图所示的一次


函数关系．


（1）求关于的函数关系式；


（2）试写出该公司销售该种产品的年获利（万元）关于销售单价（元）的函数关系式（年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支）．当销售单价为何值时，年获利最大？并求这个最大值；


（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？























5.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高度为4.4 m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．




















6.如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4 m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m．


(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；


(2)若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手．


问：球出手时，他跳离地面多高？

















尝试中考


1.（沈阳）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．


（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为 ，其中自变量x的取值范围是 ；


（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？


（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．























思维拓展


有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在池塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在池塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．


(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；


(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式；


(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润＝Q－收购总额)？