人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀一课一练

这是一份人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀一课一练，共6页。




1．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是( D )


A．与x轴有两个交点


B．开口向上


C．与y轴的交点坐标是(0，3)


D．顶点坐标是(1，－2)


【解析】 A项，∵Δ＝22－4×(－1)×(－3)＝－8＜0，∴抛物线与x轴无交点，本选项错误；B项，∵二次项系数－1＜0，∴抛物线开口向下，本选项错误；C项，当x＝0时，y＝－3，∴抛物线与y轴交点坐标为(0，－3)，本选项错误；D项，∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，∴抛物线顶点坐标为(1，－2)，本选项正确．故选D.


2．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( A )


A．3 B．2 C．1 D．0


【解析】 抛物线解析式y＝－3x2－x＋4中，令x＝0，得y＝4，∴抛物线与y轴的交点为(0，4)；令y＝0，得到－3x2－x＋4＝0，即3x2＋x－4＝0，解得x1＝－eq \f(4,3)，x2＝1，∴抛物线与x轴的交点分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0))，(1，0)．综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3.


3．[2012·资阳]如图22－2－1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( D )


A．－1＜x＜5


B．x＞5


C．x＜－1且x＞5


D．x＜－1或x＞5


【解析】 由图象得：抛物线的对称轴是x＝2，抛物线与x轴的一个交点的坐标为(5，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．利用图象可知：ax2＋bx＋c＜0的解集即是y＜0的解集，即x＜－1或x＞5.





图22－2－1





图22－2－2


4．某涵洞的形状是抛物线形，解析式为y＝－x2，它的截面如图22－2－2所示，现测得涵洞的顶点O到水面的距离为9 m，则水面宽AB为( B )


A．3 m B．6 m


C．9 m D．18 m


【解析】 设B点的横坐标为x0，根据题意得－x02＝－9，x02＝9，x0＝3，所以AB＝2x0＝6.


5．[2013·济宁]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22－2－3所示，则下列结论中正确的是( B )





图22－2－3


A．a>0


B．当－10


C．c<0


D．当x≥1时，y随x的增大而增大


6．已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，则抛物线与x轴的另一交点的坐标是( B )


A．(－2，0) B．(－3，0)


C．(－4，0) D．(－5，0)


【解析】 设抛物线与x轴的另一个交点为B(b，0)，∵抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，∴eq \f(1＋b,2)＝－1，解得b＝－3，∴B(－3，0)．


7．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图22－2－4所示，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝__－1__．





图22－2－4


【解析】 根据二次函数图象的对称性知图象与x轴的另一个交点为(－1，0)，则另一个解x2＝－1.


8．如图22－2－5，已知二次函数y＝－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，则点A的坐标为__(0，4)__，点C的坐标为__(8，0)__．


【解析】 令y＝0，则－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，所以点C的坐标为(8，0)；令x＝0，得y＝4，所以点A的坐标为(0，4)．





图22－2－5





图22－2－6


9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－6所示，则


(1)这个二次函数的解析式为__y＝x2－2x__；


(2)当x＝__－1或3__时，y＝3；


(3)根据图象回答：


当__x＜0或x＞2__时，y＞0；


当0＜x＜2时，y＜0.


【解析】 设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1，


∵图象过(0，0)点，∴0＝a(0－1)2－1，


∴a＝1，∴y＝(x－1)2－1，即y＝x2－2x.


令y＝3，得x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以当x＝－1或3时，y＝3.


观察图象可得y＞0和y＜0时对应的x的取值范围．


10．如图22－2－7，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，且与y轴交于点D(0，3)，求该抛物线的解析式．





图22－2－7


解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)．


∵抛物线与y轴交于点D(0，3)，


∴把D点坐标代入y＝a(x－1)(x－3)得a＝1，


∴y＝x2－4x＋3.





11．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( B )


A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2


C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3


【解析】 ∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，


∴该抛物线的对称轴是x＝eq \f(3,2).


又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，


∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)，


∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.


12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－8所示，则下列关系式错误的是( D )





图22－2－8


A．a＞0 B．c＞0


C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0


【解析】 A．∵抛物线的开口向上，


∴a＞0，正确；


B．∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，


∴c＞0，正确；


C．∵抛物线与x轴有两个交点，


∴b2－4ac＞0，正确；


D．把x＝1代入抛物线的解析式得：y＝a＋b＋c＜0，错误，故选D.


13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－9所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0，②2a＋b＝0，③b2－4ac＜0，④4a＋2b＋c＞0


其中正确的是( C )





图22－2－9


A．①③ B．只有②


C．②④ D．③④


【解析】 ∵抛物线的开口向上，


∴a＞0，


∵－eq \f(b,2a)＞0，∴b＜0，


∵抛物线与y轴交于正半轴，


∴c＞0，


∴abc＜0，①错误；


∵对称轴为直线x＝1，


∴－eq \f(b,2a)＝1，即2a＋b＝0，②正确，


∵抛物线与x轴有2个交点，


∴b2－4ac＞0，③错误；


∵对称轴为直线x＝1，


∴x＝2与x＝0时的函数值相等，而x＝0时对应的函数值为正数，


∴4a＋2b＋c＞0，④正确；


则其中正确的有②④.


14. 若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是__0或1__．


【解析】 (1)若m＝0，则函数y＝2x＋1，是一次函数，与x轴只有一个交点；


(2)若m≠0，则函数y＝mx2＋2x＋1，是二次函数．


根据题意得Δ＝4－4m＝0，


解得m＝1.





图22－2－10


15．如图22－2－10，二次函数y＝eq \f(1,2)x2－x＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.


(1)若A(－4，0)，求二次函数的解析式；


(2)在(1)的条件下，求四边形AMBM′的面积．


解：(1)∵点A(－4，0)在二次函数y＝eq \f(1,2)x2－x＋c的图象上，∴0＝eq \f(1,2)×(－4)2－(－4)＋c，


解得c＝－12，


∴二次函数的关系式为y＝eq \f(1,2)x2－x－12.


(2)由(1)知y＝eq \f(1,2)x2－x－12，


∴－eq \f(b,2a)＝－eq \f(－1,2×\f(1,2))＝1.


当x＝1时，y＝eq \f(1,2)×12－1－12＝－eq \f(25,2)，


∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(25,2))).


令y＝0，得eq \f(1,2)x2－x－12＝0，解得x1＝－4，x2＝6，


∴B(6，0)，AB＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－4－6))＝10.


又∵点M′与点M关于x轴对称，


∴S四边形AMBM′＝eq \f(1,2)×AB×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(25,2)))×2＝125.


16．已知：一元二次方程eq \f(1,2)x2＋kx＋k－eq \f(1,2)＝0


(1)求证：不论k为何实数，此方程总有两个实数根；


(2)设k<0，当二次函数y＝eq \f(1,2)x2＋kx＋k－eq \f(1,2)的图象与x轴的两个交点A，B间的距离为4时，求出此二次函数的解析式．


解：(1)证明：∵Δ＝k2－4·eq \f(1,2)(k－eq \f(1,2))＝k2－2k＋1＝(k－1)2


不论k为何实数，(k－1)2≥0


∴不论k为何实数，此方程总有两个实数根；


(2)∵二次函数y＝eq \f(1,2)x2＋kx＋k－eq \f(1,2)的图象与x轴的两个交点A，B间的距离为4.


∴2eq \r(（k－1）2)＝4，


∴(k－1)2＝4


解得k1＝3，k2＝－1


又∵k<0


∴k＝－1.


∴y＝eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2)





17．已知二次函数y＝k(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,k)))与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是( C )


A．2 B．3 C．4 D．5


【解析】 y＝k(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,k)))＝(x＋1)(kx－3)，所以抛物线经过点A(－1，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,k)，0))，C(0，－3)，所以AC＝eq \r(OA2＋OC2)＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10).①当k>0，点B在x轴的正半轴时，若AC＝BC，则eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,k)))\s\up12(2)＋32)＝eq \r(10)，解得k＝3；若AC＝AB，则eq \f(3,k)＋1＝eq \r(10)，解得k＝eq \f(3,\r(10)－1)；若AB＝BC，则eq \f(3,k)＋1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,k)))\s\up12(2)＋32)，解得k＝eq \f(3,4).②当k<0，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左侧，只可能有AC＝AB，则－1－eq \f(3,k)＝eq \r(10)，解得k＝－eq \f(3,\r(10)＋1)，所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条，故选C.