中考数学三轮冲刺试卷：特殊平行四边形

25．(2020·安顺)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC中点．

（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是_____，位置关系是____；

（2）问题探究：如图②，△AO´E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO´的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△AO´E是将图①中的△AOB绕点按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO´，点P，Q分别为CE，BO´的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．

由∠CAB=∠BAE，遇角平分线想轴对称，延长EO'交AC于G，延长CB、AE交点F。

由“三线合一”可证O'，B分别是EG、CF的中点，再由P是EC的中点，由三角形中位线性质有O'P=1/2GC，O'P∥GC，且PB=1/2EF，PB∥EF，易证GC=EF，所以O'P=PB，因为O'P∥GC，所以∠PO'B=∠CAB=45°，则△PO'B为等腰直角三角形，再由Q是O'B的中点，可证△PQB为等腰直角三角形。

方法二：旋转处理

延长PB、EO'交于点F，易证△CBP△EFP，则EF=BC=AB，PF=PB，又因为AO'=EO'，故FO'=BO'

故△FO'B是等腰直角三角形，再由Q是O'B的中点，可证PQ是△FO'B的中位线，故PQ∥FO'，可证△PQB为等腰直角三角形。

03

图文解析

方法一：对称处理

由正方形对称性得PB=PD，PN=PM，根据平行线分线段成比例，可得MD=MO'，再由垂直平分线的性质有PD=PO'，所以PO'=PB，进而可证△PMO'≌△PNB，于是有∠BPO'=90°，再由Q是BO'的中点，可证△PQB为等腰直角三角形。

方法二：旋转处理

延长O'P，DC交于点F，联结BF。

可证△PCF≌△PEO'，得PO'=PF，FC=O'E=O'A，进而可证得△O'AB≌△FCB，于是BO'=BF，∠O'BF=90°，再由三角形中位线性质有PQ∥BF，故△PQB是等腰直角三角形，进而可求△PQB的面积为3/16.

同样可采用以下方法处理

or

正方形处理策略

①由正方形的对称性，常用对称和旋转。

②正方形内等角多，常想共圆。

③正方形内直角多，“K”型要常记住。

原题呈现

图文解析

01

思路切入分析：

基于确定性分析，由题意知圆O确定，A、C为定点，由CE=√34可知只需以C为圆心，√34为半径作圆，与直线l的交点即为点E，故AE可求。CE为斜线段，故可过点C作CH⊥AE，易证四边形AOCH为正方形，故CH=AH=OC=3，再由勾股定理可求HE=5,

则AE=EH-AH=2.

02

思路切入分析：

由（1）可通过“A型”相似，求得AD=6/5,再由5BF=5AD=4,可求BF=2,故F为定点，连接CF延长交圆O与G，可知点G为定点，故整个图形是确定的。那么如何求解呢？

思路一：圆周角转化+斜A型相似

延长CO交圆O与P，连接GP.

由同弧所对圆周角相等有∠GAC=∠GPC,易证∠GPC=∠OFC,在Rt△OFC中，OF=1,OC=3,勾股求FC=√34，再借助于△OFC∽△GPC，可求CG长，问题得解。

思路二：圆周角+三角形外角+相交弦

连接CB.

由同弧所对圆周角相等有∠GAF=∠GCB,易证∠CAB=∠CBA,由三角形外角的性质可知：∠OFC=∠CBA+∠GCB，而

∠GAC=∠CAB+∠GAB，则∠OFC=∠GAC，

易证△FBC∽△FGA，可求出GF长，进而GC长可求，问题得解。

思路三：三角形外角+子母相似

根据同弧所对圆心角等于该弧所对圆心角的一半可知∠AGC=1/2∠AOC=45°，易求∠BAC=45°，则∠AGC=∠BAC，再由三角形外角性质可证得∠OFC=∠GAC，借助△AFC∽△GAC，可求得GC长，于是问题得解。

解题感悟

本道题是以圆为背景的几何综合题，涉及知识点多，综合性强，解法灵活多样，考查了圆周角定理及推论，三角形外角性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质。三角函数等初中核心知识点，解决问题的关键是灵活转化圆周角至直角三角形中，进而求出其三角函数值，求线段长常用方法有：①勾股定理，②相似三角形，③三角函数，④等面积法等，本题求GC长主要依托相似三角形，解题后惊奇发现三种不同转化角的方法，分别对应着三种不同的相似模型，思路一出现了一对斜A型相似；思路二连BC有一对斜X型相似；思路三不添加辅助线可证得一对子母型相似。