山东省乐陵一中2020届高三复习：推理与证明测试题（详解)

数学练习一、选择题（本大题共8小题，每小题5分）1．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则71009的末两位数字为（　　）A．49 B．43 C．07 D．012．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其内切圆半径为r，由S△ABCbc，又S△ABCcr，可得r．类比上述方法可得：三棱锥P﹣ABC中，若∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，设△ABC的面积为S1，△PAB的面积为S2，△PAC的面积为S3，△PBC的面积为S4，则该三棱锥内切球的半径是（　　）A． B． C． D．3．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．如图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比100%，环比100%）下列结论中不正确的是（　　）A．2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B．2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些 C．2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上 D．2019年3月份的居民消费价格全年最低4．余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（2x2﹣3）是余弦函数，因此f（x）＝cos（2x2﹣3）是偶函数，以上推理（　　）A．结论不正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确5．关于综合法和分析法的说法错误的是（　　）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B．综合法又叫顺推证法或由因导果法 C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 D．分析法又叫逆推证法或执果索因法6．设a，b，c大于0，则3个数的值（　　）A．至多有一个不大于1 B．都大于1 C．至少有一个不大于1 D．都小于17．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p﹣1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22﹣1＝3，23﹣1＝7，25﹣1＝31，27﹣1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289﹣1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（　　）A．25 B．29 C．27 D．288．在用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时的正确反设应为（　　）A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 C．a，b，c都是偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数二、多项选择题（共4小题，，每小题5分）9．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有（　　）A．m＝3 B． C． D．10．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（　　）A．这五年，2015年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2019年进口增速最快11．“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想“，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为（　　）A．10 B．32 C．64 D．9612．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（　　）A．消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、填空题（本大题共5小题，每小题4分）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则7288用算筹式可表示为　   　．14．已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为6，其内有n个小球，球O1与三棱锥A﹣BCD的四个面都相切，球O2与三棱锥A﹣BCD的三个面和球O1都相切，如此类推，…，球On与三棱锥A﹣BCD的三个面和球On﹣1都相切（n≥2，且n∈N*），则球O1的体积等于　   　，球On的表面积等于　   　．15．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是　   　．16．用反证法证明“设a3+b3＝2，求证a+b≤2”时，第一步的假设是　   　．四、解答题（本大题共5小题） 17．观察以下各等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°sin220°+cos250°+sin20°cos50°sin215°+cos245°+sin15°cos45°分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．18．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码（Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率；（Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B所以P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.8+0.7＝1.5请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．19．已知数列{an}中，a1＝1，an+1（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式；（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论．20．对于集合A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bm}，n∈N*，m∈N*．A+B＝{x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．（Ⅰ）已知集合A＝{1，3，5，7}，，写出|A+A|，|B+B|的值；（Ⅱ）已知集合A＝{a1，a2，…，an}，{an}为等比数列，an＞0，且公比为，证明：A具有性质T；（Ⅲ）已知A，B均有性质T，且n＝m，求|A+B|的最小值．21．已知n∈N*，n≥2，给定n×n个整点（x，y），其中1≤x，y≤n，x，y∈N*．（Ⅰ）当n＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点（x1，y1），（x2，y2），求x1+x2的所有可能值；（Ⅱ）从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，．（ i）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；（ ii）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1），（x2，y2），（x2′，y2），满足x1+x1′＝x2+x2′，y1≠y2．
答题卡一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）（请将答案填写在各试题的答题区内）12345678         二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（请将答案填写在各试题的答题区内）9101112     三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（请在各试题的答题区内作答）13.                                       14.                                       15.                                       16.                                        四．解答题（共5小题）（请在各试题的答题区内作答）17.答： 18.答： 19.答： 20.答： 21.答：   
题号123456答案CBDCCC题号789101112答案CBACDABDACABC 13． ． 14． π；    15丁．   16．假设a+b＞2．17．观察以下各式：∵sin230°+cos260°+sin30°cos60°，sin220°+cos250°+sin20°cos50°，∴sin230°+cos2（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°），sin220°+cos2（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）， 于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出．证明：左边 右边．18．（Ⅰ）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，甲、乙二人都破译密码的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.7＝0.56．（Ⅱ）恰有一人破译密码的概率为：P（）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝0.8×0.3+0.2×0.7＝0.38．（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，∵A和B不是互斥事件，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，正确解法为：P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.8+0.7﹣0.8×0.7＝0.94．19．（Ⅰ）∵数列{an}中，a1＝1，an+1，a2，a3，a4猜想：an；（Ⅱ）∵通项公式为an的数列{an}，若an+1﹣an＝d，d是常数，则{an}是等差数列，…大前提又∵，为常数；…小前提∴数列{}是等差数列．…结论20．（I）A+A＝{2，4，6，8，10，12，14}，则|A+A|＝7；B+B＝{，1，，3，，2，，，4，}，则|B+B|＝10．…．（4分）（II）要证A具有性质T，只需证明，若n1＜n2≤n3＜n4，则．假设上式结论不成立，即若n1＜n2≤n3＜n4，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．…．（III）由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的a＜b≤c＜d，有a+d≠b+c，等价于d﹣c≠b﹣a，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*＝{x﹣y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T．因为集合A，B均有性质T，且n＝m，所以|A+B|＝n2﹣|A*∩B*|，当且仅当A＝B时等号成立．所以|A+B|的最小值为．…．（14分）21．（Ⅰ）当n＝2时，4个整点分别为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；（Ⅱ）（i）假设不存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i（1≤i≤n，i∈N+）中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n﹣1+n＝2n﹣1，而2n﹣1n﹣1，与已知m1矛盾，故存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；（ii）设直线y＝i（1≤i≤n，i∈N+）有ai个选定的点，若ai≥2，设y＝i上的这ai个选定的点的横坐标为x1，x2，…，xn，且满足x1＜x2＜…＜xn，由x1+x2＜x1+x3＜x2+x3＜x2+x4＜x3+x4，则x1，x2，…，xn，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n﹣3个，而2m﹣3n≥5n﹣2﹣3n≥2n﹣3，可知存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1），（x2，y2），（x2′，y2），满足x1+x1′＝x2+x2′，y1≠y2．