山东省乐陵一中2020届高三二轮复习练习题：推理与证明（详解）

推理与证明一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S57＝（　　）A．265 B．521 C．1034 D．20592．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙，他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌：黑桃：3，5，Q，K红心：7，8，Q梅花：3，8，J，Q方块：2，7，9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母），只给乙同学说这张牌的花色，接着老师让这两个同学猜这是张什么牌：甲同学说：我不知道这是张什么牌，乙同学说：我也不知道这是张什么牌．甲同学说：现在我们知道了．则这张牌是（　　）A．梅花3 B．方块7 C．红心7 D．黑桃Q3．正偶数数列有一个有趣的现象：2+4＝6；8+10+12＝14+16；18+20+22+24＝26+28+30；…按照这样的规律，2016所在等式为（　　）A．第29个 B．第30个 C．第31个 D．第32个4．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛．赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：甲：“丙第一名，我第三名”；乙：“我第一名，丁第四名”；丙：“丁第二名，我第三名”；丁没有说话．最后公布结果时，发现他们预测都只猜对了一半，则这次竞赛甲、乙、丙、丁的名次依次是第（　　）名．A．一、二、三、四 B．三、一、二、四 C．三、一、四、二 D．四、三、二、一5．推理“①圆内接四边形的对角和为180°；②等腰梯形ABCD是圆内接四边形；③A+C＝180°”中的小前提是（　　）A．① B．② C．③ D．①和②6．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定x的值，类似地的值为（　　）A．3 B． C．6 D．27．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（　　）A．﹣2 B．0 C．2 D．48．因为正弦函数是周期函数，f（x）＝sin|x|是正弦函数，所以f（x）＝sin|x|是周期函数，以上推理（　　）A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为（　　）A．是团员，且体育成绩达标 B．是团员，且体育成绩不达标 C．不是团员，且体育成绩达标 D．不是团员，且体育成绩不达标10．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有（　　）A．m＝3 B． C． D．11．“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想“，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为（　　）A．10 B．32 C．64 D．9612．某学员在网上进行驾照模拟测试，在测试过程中，每答完一道题，屏幕上都会自动计算并显示当前答对题数、答错题数及正确率，若他共答了10道题，记每答完一道题，屏幕上自动显示的正确率分别为a1，a2，…a10，以下四个判断中正确的是（　　）A．若a1＜a2＜…＜a10，则必是第一题答错，其余题均答对 B．若a1＝a2＞…＞a10，则必是第一、第二题均答对，其余题均答错 C．有可能a8＜a9且a9＞a10 D．满足方程a5＝2a10的序数对（a5，a10），不可能超过5对三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，P1是一块半径为2a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3、P4、…、Pn、…，记第n块纸板Pn的面积为Sn，则（1）S3＝　   　，（2）如果对恒成立，那么a的取值范围是　   　．14．高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在　   　．15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1x（x＞0）求得x，类似上述过程，则 　   　．16．石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是　   　、　   　．四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．17．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．cos215°+cos215°sin15°sin15°；cos280°+cos2（﹣50°）；cos2170°+cos2（﹣140°）．（1）求出这个常数；（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．18．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2﹣Sn（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；（Ⅱ）用三段论证明数列{an}是等比数列．
 1．C将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…．分组为（1），（1，1），（1，2，1），（1，3，3，1），（1，4，6，4，1）…则第n组n个数且第n组n个数之和为2n﹣1，设a57在第n组中，则57，解得：n＝11，即a57在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，则S57＝20+21+…+29+（）＝1034，2．C首先根据甲同学：“我不知道这张牌．”：由于甲只知道数字（或子母），所以可知点数不可能是2，5，9，K，J．因为要是这几个中的一个，乙就直接知道了是什么，因此可知这张牌的点数只可能为：3，7，8，Q（即牌肯定是重复出现的）其次根据乙同学：“我也不知道这张牌”：直接可以排除方块7，因为乙知道花色，若是方块就只能是方块7，故排除；故只剩下黑桃3，黑桃Q，红心7，红心8，红心Q，梅花3，梅花8，梅花Q，最后根据甲同学：“现在我们知道了．”可知所以这张牌的点数只可能，否则甲不可能知道，因此只剩下了红心7；3．C由题意，将所有等式中的数排成一列：2，4，6，8，10，…设这个数列为{an}，则an＝2n．∵2n＝2016，解得n＝1008．∴2016是第1008项．∵第1个等式有3项，第2个等式有5项，第3个等式有7项，设等式含有的项数组成的数列为{bn}，则{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴{bn}的前n项和为3n•2＝n2+2n．∵当n＝30时，n2+2n＝960＜1008；当n＝31时，n2+2n＝1023＞1008．∴第1008项在第31个等式，即2016在第31个等式．4．C由题意，他们预测都只猜对了一半，则甲的猜测也是对一半，错一半．假设甲猜的丙第一名正确，则甲猜的自己第三名错误；则乙猜的乙第一名错误，则乙猜的丁第四名正确；则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确．由此可见，丁既是第二名，又是第四名，故此假设不正确．故甲猜的丙第一名错误，则甲猜的自己第三名正确；则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确．则乙猜的丁第四名错误，则乙猜的乙第一名正确；故甲第三名，乙第一名，丙第四名，丁第二名．5．B由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论，6．A由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令m（m＞0），则两边平方得，则m2，即3+2m＝m2，解得，m＝3，m＝﹣1舍去．7．A∵x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，由对应系数相等知：x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，∴x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3）＝4﹣6＝﹣2．8．C小前提：f（x）＝sin|x|是正弦函数，错误．9．AC由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，故是团员，且体育成绩达标，或不是团员，且体育成绩达标10．ACD∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，∴a67＝17×36，∴S＝（a11+a12+a13+……+a1n）+（a21+a22+a23+……+a2n）+……+（an1an3+……+ann） （3n﹣1）•n（3n+1）（3n﹣1）11．AC：根据题意，正整数m经过6次运算后得到1，所以正整数m经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去），经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，所以正整数m的值为64或10，12．ABC若a1＜a2，则第一题一定答错，第二题一定答对，若a2＜a3，则第三题一定答对，…故若a1＜a2＜…＜a10，则必是第一题答错，其余题均答对，即A正确；a9＞a10，则第十题一定答错，…a1＝a2＞a3，则第三题一定答错，第一、二题一定答对故若a1＝a2＞…＞a10，则必是第一、第二题均答对，其余题均答错，即B正确；当前八题存在答错的题且第九题答对，第十题答错时，a8＜a9且a9＞a10，即C正确；若a5＝1，由a5＝2a10得a10，此时有序数对为（1，）若a5，由a5＝2a10得a10，此时有序数对为（，）若a5，由a5＝2a10得a10，此时有序数对为（，）若a5，由a5＝2a10得a10，此时有序数对为（，）若a5，由a5＝2a10得a10，此时有序数对为（，）若a5＝0，由a5＝2a10得a10＝0，此时有序数对为（0，0）故这样的有序数对为6对，故D错误；13． ，[，+∞）．14．画画15． 3．16．设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，则， 所以13﹣（a+b）≤a+b，a+b≥7，c+d≤6， 若a+b＝7，则c+d＝6，∵a＜b，∴a＝3，b＝4，c＝5，d＝1， 若a+b≥8，则c+d≤5，∵d≥1，∴c≤4，∵b＜c，∴b≤3，a≥5＞b矛盾， 若队长为小学中级时，去掉队长则a＝2，b＝4，c＝5，d＝1， 满足d＝1≥1，c+d＝6≤a+b＝4，b＝4≤c＝5，a＝2＜b＝4； 若队长为小学高级时，去掉队长则a＝3，b＝3，c＝5，d＝1，不满足a＜b；若队长为中学中级时，去掉队长则a＝3，b＝4，c＝4，d＝1，不满足b＜c； 若队长为中学高级时，去掉队长则a＝3，b＝3，c＝5，d＝0，不满足d≥1； 综上可得队长为小学中级．17． 1）由题意，可知 ．（2）由题意推广的结论为：当α+β＝30°时，．证明：∵α+β＝30°，∴β＝30°﹣α，则 ．18．（Ⅰ）由an＝2﹣Sn，当n＝1时，a1＝2﹣S1＝2﹣a1，解得：a1＝1，当n＝2时，a2＝2﹣S2＝2﹣a1﹣a2，解得：a2，当n＝3时，a3＝2﹣S3＝2﹣a1﹣a2﹣a3，解得：a3，当n＝4时，a4＝2﹣S4＝2﹣a1﹣a2﹣a4﹣a4，解得：a4，…由此归纳推理得：an，（n∈N*）． …（6分）（Ⅱ）∵通项公式为an的数列{an}，若p，p是非零常数，则{an}是等比数列；因为通项公式an，又；所以通项公式an的数列{an}是等比数列．…（12分）