新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测16《必备知识-导数与函数的单调性极值与最值》(含解析)

课时跟踪检测（十六）  必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

1．(2019·厦门质检)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(－1,1)　　　　　　　　　 B．(0,1]

C．(1，＋∞)  D．(0,2)

解析：选B　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－≤0，得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．

2．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：

①f′(x)>0时，－1<x<2；

②f′(x)<0时，x<－1或x>2；

③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.

则函数f(x)的大致图象是(　　)

解析：选C　根据信息知，函数f(x)在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.

3．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)

A．x＝1  B．x＝－1

C．x＝1或－1或0  D．x＝0

解析：选C　∵f(x)＝x4－2x2＋3，

∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，

得x＝0或x＝1或x＝－1，

又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，

当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，

∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．

4．(2019·成都高三摸底测试)已知函数f(x)＝x3－ax在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，＋∞)  B．[3，＋∞)

C．(－∞，1]  D．(－∞，3]

解析：选B　∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.

5.(2019·赤峰模拟)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

解析：选D　由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＝2时，f′(x)＝0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D.

6．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)＝sin 2x　　　　　 B．f(x)＝xex

C．f(x)＝x3－x  D．f(x)＝－x＋ln x

解析：选B　对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得0<x<1，∴函数f(x)＝－x＋ln x在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.

7.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2]   B.

C．[－2,3]   D.

解析：选D　由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－，c＝－18.∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.当x≥时，y′≥0，∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.

8．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a<b，则一定有(　　)

A．af(a)<bf(b)  B．af(b)<bf(a)

C．af(a)>bf(b)  D．af(b)>bf(a)

解析：选C　[x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)<0，∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵a<b，∴af(a)>bf(b)．

9．(2019·广州模拟)若函数f(x)＝ex(sin x＋acos x)在上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]  B．(－∞，1)

C．[1，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：选A　f′(x)＝ex[sin x＋cos x－a(sin x－cos x)]，当a＝0时，f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，显然x∈，f′(x)>0恒成立，排除C、D；当a＝1时，f′(x)＝2excos x，x∈时，f′(x)>0，故选A.

10．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)<x＋1的x的集合为(　　)

A．{x|－1<x<1}  B．{x|x<1}

C．{x|x<－1或x>1}  D．{x|x>1}

解析：选B　令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1，故选B.

11．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

解析：选C　当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0<x<1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)<0，当x>1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0<x<1，x>1时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.

12．(2019·湖北咸宁重点高中联考)设函数f(x)＝x2－9ln x 在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,2]  B．(4，＋∞)

C．(－∞，2)  D．(0,3]

解析：选A　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，由x－≤0，得0<x≤3，∴f(x)在(0,3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.

13．函数f(x)＝x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．

解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.

答案：－

14．(2019·长治联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1>0，f(1)＝6，则不等式f(lg x)<＋5的解集为________．

解析：构造g(x)＝f(x)－－5，则g′(x)＝f′(x)＋＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∵f(1)＝6，∴g(1)＝0，

故g(x)<0的解集为(0,1)，即f(x)<＋5的解集为(0,1)，由0<lg x<1，得1<x<10，不等式的解集为(1,10)．

答案：(1,10)

15．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为________．

解析：f′(x)＝－k＝(x>0)．

设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，

∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.

答案：(－∞，e]

16．已知函数g(x)满足g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋x2，且存在实数x0，使得不等式2m－1≥g(x0)成立，则实数m的取值范围为________．

解析：g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x，

令x＝1，得g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1，

∴g(0)＝1，g(0)＝g′(1)e0－1＝1，∴g′(1)＝e，

∴g(x)＝ex－x＋x2，g′(x)＝ex－1＋x，

当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，

∴当x＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1.

根据题意得2m－1≥g(x)min＝1，∴m≥1.

答案：[1，＋∞)