新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测22《三角函数的图象与性质》(含解析)

课时跟踪检测（二十二）  三角函数的图象与性质

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是(　　)

A．y＝sin 2x　　　　　　　 B．y＝2|cos x|

C．y＝cos   D．y＝tan(－x)

解析：选D　A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.

2．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数

B．在区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为π

解析：选C　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝，所以它的图象关于对称．

3．(2018·广西五市联考)若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　因为0<ω<1,0≤x≤，所以0≤ωx<，所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)max＝f＝2sin ＝1，即sin ＝.又0≤ωx<，所以＝，解得ω＝，选C.

4．(2019·冀州四校联考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)

A．－  B.

C.  D.

解析：选D　∵f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f，∵函数f(x)是偶函数，∴f＝f＝f＝sin ＝.故选D.

5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有f＋x＝f，则f的值为(　　)

A．2或0  B．－2或2

C．0  D．－2或0

解析：选B　因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)

A.　　　　　　 B．[0，π]

C.  D.

解析：选D　将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.

2．(2019·常德检测)将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(　　)

A．g(x)的最小正周期为π

B．g＝

C．x＝是g(x)图象的一条对称轴

D．g(x)为奇函数

解析：选C　由题意得g(x)＝sin＝sin 2x，所以周期为π，g＝sin ＝，直线x＝不是g(x)图象的一条对称轴，g(x)为奇函数，故选C.

3．(2018·晋城一模)已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是(　　)

A．1  B.

C．2  D．π

解析：选B　∵函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，∴ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.故选B.

4．(2018·广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象(　　)

A．关于点对称  B．关于点对称

C．关于直线x＝对称  D．关于直线x＝对称

解析：选A　由题意可得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝cos(2x＋φ)＝cos＝cos，k∈Z.当x＝时，cos＝cos ＝0，所以函数y＝cos的图象关于点对称，不关于直线x＝对称，故A正确，C错误；当x＝时，cos＝cos π＝－，所以函数y＝cos(2x＋φ)的图象不关于点对称，B错误，也不关于直线x＝对称，D错误．故选A.

5．(2019·衡水联考)函数f(x)＝sin－在区间(0，π)内的所有零点之和为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　函数零点即y＝sin与y＝图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y＝sin与y＝的图象有两个交点，由2x＋＝kπ＋，得x＝＋，k∈Z，取k＝1，得x＝，可知两个交点关于直线x＝对称，故两个零点的和为×2＝.故选C.

6．(2018·闽侯第六中学期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝，则函数f(x)＝sin2(x＋φ)的单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选B　因为sin φ－cos φ＝，所以sin＝⇒φ－＝⇒φ＝.因为f(x)＝sin2(x＋φ)＝＝，所以由2x＋∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.

7．(2018·天津期末)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为(　　)

A.  B．(0,2)

C．(1,2)  D．[1,2)

解析：选C　由题意f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)．令ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间内，∴<＋<，k∈Z，∴3k＋1<ω<6k＋2，k∈Z.又∵f(x)的最小正周期大于π，∴>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.

8．函数f(x)＝＋tan的定义域是____________．

解析：依题意得

∴0<x≤2，且x≠kπ＋(k∈Z)，

∴函数f(x)的定义域是.

答案：

9．(2019·四川双流中学模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在上单调递减，则ω＝________.

解析：由f＝f，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∴ω＋＝＋kπ，k∈Z，∴ω＝1＋4k，k∈Z，又f(x)在上单调递减，∴≥π－＝，T≥π，∴≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k，k∈Z，∴当k＝0时，ω＝1.

答案：1

10．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3·cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．

解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.

答案：

11．(2018·郴州二模)已知函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：

①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；

②函数f(x)在区间上单调递增；

③函数f(x)的最小正周期为π；

④函数f(x)的值域为[－2,2]．

其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上)

解析：对于函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，

由于f＝－2，f＝0，

所以f≠f，

故f(x)的图象不关于直线x＝对称，故排除①.

在区间上，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x，2x∈单调递增，故②正确．

函数f＝，f＝0，

所以f≠f，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．

当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为－2；

当cos x<0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0，

综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确．

答案：②④

12．(2018·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数f(x)＝2cos2＋2sinsin.

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解：(1)∵f(x)＝2cos2＋2sinx－·sin

＝cos＋1＋2sinsin

＝cos＋2sincos＋1

＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1

＝sin 2x－cos 2x＋1

＝sin＋1，

∴f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.

(2)x∈时，2x－∈，

当2x－＝，即x＝时，函数有最大值2；

当2x－＝－，即x＝0时，函数有最小值.

13．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝a2cos2＋sin x＋b.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．

解：已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b

＝asin＋a＋b.

(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，

由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调递增区间为2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)．

(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.

①当a>0时，得∴a＝3－3，b＝5.

②当a<0时，得∴a＝3－3，b＝8.

综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.