新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测30《系统知识-平面向量的数量积》(含解析)

课时跟踪检测（三十）  系统知识——平面向量的数量积

1．(2019·长沙雅礼中学月考)已知平面向量a，b满足b·(a＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝(　　)

A.　　　　　　　　 　 B.

C.  D．2

解析：选A　因为|a|＝1，|b|＝2，b·(a＋b)＝3，所以a·b＝3－b2＝－1，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－2＋4＝3，所以|a＋b|＝，故选A.

2．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(－2)·(3＋4)＝(　　)

A．－  B.－

C．－6－  D．－6＋

解析：选B　(－2)·(3＋4)＝3·－62＋4·－8·＝3||·||·cos 120°－6||2＋4||·||cos 120°－8||·||·cos 120°＝3×1×1×－6×12＋4×1×1×－8×1×1×＝－－6－2＋4＝－，故选B.

3．(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)

A．6  B.3

C．2  D．3

解析：选D　因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|·cos ，所以|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.

4．(2018·永州二模)已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(　　)

A.  B.1

C.  D．2

解析：选A　∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×＝.∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝或|a|＝0(舍)，故选A.

5．(2019·北京四中期中)已知向量a＝(3,1)，b＝，则下列向量与a＋2b垂直的是(　　)

A．c＝(－1,2)  B.c＝(2，－1)

C．c＝(4,2)  D．c＝(－4,2)

解析：选C　∵向量a＝(3,1)，b＝，∴a＋2b＝(3,1)＋(－4,1)＝(－1,2)，

∵(－1,2)·(－1,2)＝1＋4＝5，(－1,2)·(2，－1)＝－2－2＝－4，(－1,2)·(4,2)＝－4＋4＝0，(－1,2)·(－4,2)＝4＋4＝8，∴向量c＝(4,2)与a＋2b垂直，故选C.

6．(2019·漯河高级中学模拟)已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝(　　)

A．－4  B.－6

C．4  D．＋1

解析：选D　由题意可得a·b＝－2＋2m，且|b|＝＝，则向量a在向量b方向上的投影为＝＝2，解得m＝＋1.故选D.

7．(2018·茂名二模)已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝(　　)

A．2  B.3

C．4  D．5

解析：选B　∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2.又∵|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，∴a·(a－b)＝|a||a－b|·cos ，∴a2－a·b＝2×1×＝1，∴a·b＝3.故选B.

8．(2019·鞍山一中一检)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)

A．6  B.5

C．1  D．－6

解析：选A　∵向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(3,0)，则(2a＋b)·a＝6.故选A.

9．(2019·南充一诊)已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则(3a－b＋5c)·b＝(　　)

A．－1  B.1

C．6  D．－6

解析：选D　因为向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，所以(3a－b＋5c)·b＝0－b2＋5c·b＝－1＋5×(－1)＝－6.故选D.

10．(2019·闽侯第六中学期末)已知＝(cos 23°，cos 67°)，＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC的面积为(　　)

A．2  B.

C．1  D．

解析：选D　根据题意，＝(cos 23°，cos 67°)，∴＝－(cos 23°，sin 23°)，

则||＝1.又∵＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴||＝2.

∴·＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－，∴cos B＝＝－，则B＝135°，则S△ABC＝||||sin B＝×1×2×＝，故选D.

11．(2019·四川广安、眉山第一次诊断性考试)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD＝2DC，则·的值为(　　)

A．1－  B.

C.  D．1＋

解析：选B　∵△ABC是边长为1的等边三角形，且BD＝2DC，∴＝，∴·＝·(＋)＝2＋·＝1＋×1×1×＝，故选B.

12．(2019·福建基地校质量检测)已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)

A．三边均不相等的三角形  B.直角三角形

C．等腰非等边三角形  D．等边三角形

解析：选D　由·＝0，得BC垂直于角A的平分线，则△ABC为等腰三角形，AB，AC为腰．由·＝，得A＝60°.所以△ABC为等边三角形，故选D.

13．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a＋2b|＝________.

解析：∵|a＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a＋2b|＝5.

答案：5

14．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a，b满足|a＋2b|＝，则a，b的夹角为________．

解析：因为|a＋2b|＝，所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝()2.又a，b是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＝－.因为a·b＝|a|·|b|cosa，b，所以cosa，b＝－，则a，b的夹角为.

答案：

15．(2019·云南师范大学附属中学月考)在边长为2的等边三角形ABC中，点O为△ABC外接圆的圆心，则·(＋)＝________.

解析：如图，O是正三角形ABC外接圆的圆心(半径为2)，则O也是正三角形ABC的重心．设AO的延长线交BC于点D，则＋＝2＝－，∴·(＋)＝－2＝－4.

答案：－4

16．已知向量＝(m,1)，＝(2－m，－4)，若·>11，则m的取值范围为________．

解析：由向量＝(m,1)，＝(2－m，－4)，得＝＋＝(2，－3)．又因为·>11，所以2m－3>11，解得m>7.

答案：(7，＋∞)