新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测27《系统题型-解三角形及应用举例》(含解析)

课时跟踪检测（二十七）  系统题型——解三角形及应用举例

[A级　保分题——准做快做达标]

1．(2018·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形　　　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

解析：选B　由已知及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，又sin(B＋C)＝sin A，∴sin A＝1，∴A＝.故选B.

2．(2018·临川二中等两校联考)已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A＝，sin B>sin C，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)

A．2或3  B．2

C．3  D．6

解析：选C　因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝＝，由余弦定理得cos A＝＝＝，①

因为S△ABC＝bcsin A＝bc×＝2，所以bc＝6，②

将②代入①得＝，则b2＋c2＝13，③

由sin B>sin C可得b>c，联立②③可得b＝3，c＝2.故选C.

3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin A，则sin A＋sin C的最大值为(　　)

A.  B.

C．1  D.

解析：选B　∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－22＋，∴sin A＋sin C的最大值为.

4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于(　　)

A．1  B.

C.  D．2

解析：选A　法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1，故选A.

法二：因为在△ABC中，tan∠BAC＝－3<0，所以∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A.

5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，BC＝2AD，则sin C的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　设AB＝AD＝2a，则BD＝a，则BC＝4a，所以cos∠ADB＝＝＝，所以cos∠BDC＝＝－，整理得CD2＋3aCD－10a2＝0，解得CD＝2a或者CD＝－5a(舍去)．故cos C＝＝＝，而C∈，故sin C＝.故选A.

6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的边长．若cos C＋sin C－＝0，则的值是(　　)

A.－1  B.＋1

C.＋1  D．2

解析：选B　在△ABC中，由cos C＋sin C－＝0，根据两角和的正弦公式可得2sinsinB＋＝2，从而得C＋＝B＋＝，解得C＝B＝，∴A＝.∴由正弦定理可得＝＝＝＋1.故选B.

7．(2019·葫芦岛期中)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C－cos C＝1－cos ，若△ABC的面积S＝(a＋b)sin C＝，则△ABC的周长为(　　)

A．2＋5  B.＋5

C．2＋3  D.＋3

解析：选D　由sin C－cos C＝1－cos ⇒2sin cos －＝1－cos ⇒cos 2cos －2sin －1＝0，∵cos ≠0，∴sin －cos ＝－，两边平方得sin C＝，由sin －cos ＝－可得sin <cos ，∴0<<，即0<C<，由sin C＝得cos C＝.又S＝absin C＝(a＋b)sin C＝，∴a＋b＝ab＝4，∴a＝b＝2，再根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－2，解得c＝－1，故△ABC的周长为＋3，故选D.

8．(2019·长沙模拟)在锐角△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD＋∠C＝90°，则∠B，∠C的大小关系是________．

解析：由∠BAD＋∠C＝90°，得∠CAD＋∠B＝90°，由正弦定理得＝＝，＝＝，又D为BC的中点，所以BD＝DC，所以＝，化简得sin Bcos B＝sin Ccos C，即sin 2B＝sin 2C，又△ABC为锐角三角形，所以∠B＝∠C.

答案：∠B＝∠C

9.(2019·温州一模)如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD分别是以AD和BD为底的等腰三角形，其中AD＝1，BC＝4，∠ADB＝∠CDB，则BD＝________，AC＝________.

解析：设∠ADB＝∠CDB＝θ，在△ABD内，BD＝；在△CBD内，BD＝8cos θ.故＝8 cos θ，所以cos θ＝，BD＝2，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos 2θ＝24，AC＝2.

答案：2　2

10．(2019·沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则cos 2A＝________.

解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝××5a＝，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.由＝⇒sin A＝sin B＝sin＝，∴cos 2A＝1－2sin2A＝1－2×2＝.

答案：

11．(2019·江西七校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，且sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)．

(1)求证：a，b,2a成等比数列；

(2)若△ABC的面积是1，求c的长．

解：(1)证明：∵A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，∴sin B＝－2sin Acos C.

在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos C，

∵C＝，∴b＝a，则b2＝a·2a，

∴a，b,2a成等比数列．

(2)S△ABC＝absin C＝ab＝1，则ab＝2，

由(1)知，b＝a，联立两式解得a＝，b＝2，

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝2＋4－4×＝10，∴c＝.

12．(2019·大连检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝sin Asin B.

(1)求角C；

(2)若c＝2，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积S的值．

解：(1)由已知得sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，

由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，

由余弦定理可得cos C＝＝－.

∵0<C<π，∴C＝.

(2)法一：由| |＝|＋|＝2，可得2＋ 2＋2·＝16，

即a2＋b2－ab＝16，

又由余弦定理得a2＋b2＋ab＝24，∴ab＝4.

∴S＝absin∠ACB＝ab＝.

法二：延长CD到M，使CD＝DM，连接AM，易证△BCD≌△AMD，∴BC＝AM＝a，∠CBD＝∠MAD，

∴∠CAM＝.

由余弦定理得

∴ab＝4，S＝absin∠ACB＝×4×＝.

[B级　难度题——适情自主选做]

1．(2019·成都外国语学校一模)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A＝≥＝，又0<A<π，所以0<A≤.故A的取值范围是.故选C.

2．(2019·陆川中学期中)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos C＋ccos A＝bsin B，且∠CAB＝.若点D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D＝________.

解析：因为acos C＋ccos A＝bsin B，

所以由正弦定理可得sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，sin B＝1，B＝.

又因为∠CAB＝，

所以BC＝AC，AB＝AC，

由余弦定理可得cos D＝，可得AC2＝13－12cos D，

四边形面积S＝S△ACD＋S△ABC＝×2×3×sin D＋×AC×AC＝3sin D＋(13－12cos D)＝＋3sin D－cos D＝ sin(D＋φ)＋，tan φ＝－，

所以，当φ＋D＝时四边形面积最大，此时tan D＝tan＝＝－，可得sin D＝.

答案：

3．(2019·郑州高三质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，

从而可得 sin(A＋C)＝2sin Bcos A，

即sin B＝2sin Bcos A.

又B为三角形的内角，

所以sin B≠0，于是cos A＝，

又A为三角形的内角，所以A＝.

(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A得4＝b2＋c2－2bc·≥2bc－bc，

所以bc≤4(2＋)．

所以S＝bcsin A≤2＋.

故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋.