新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测29《平面向量基本定理及坐标表示》(含解析)

课时跟踪检测（二十九）  平面向量基本定理及坐标表示

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

解析：选B　A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.

2．(2019·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.

3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)

A．－1  B．－2

C．－3  D．－4

解析：选C　∵a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，∴b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a＋b＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c＝(x,3)，(2a＋b)∥c，∴－1×3－x＝0，∴x＝－3.故选C.

4．(2019·兰州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，

所以sin θ＝±，故锐角θ＝.

5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b  B.a＋b

C.a＋b  D.a＋b

解析：选B　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，

∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝ ＋.则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋ b.故选B.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．(2019·福州期末)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则|c|＝(　　)

A.  B．3

C.  D.

解析：选B　∵a＝(1,2)，b＝(－1,1)，∴c＝2a－b＝(3,3)，∴|c|＝＝3，故选B.

2．(2019·长沙一模)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)

A．－  B.

C.  D.

解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.

3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos 2α＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选C　∵a∥b，a＝，b＝(cos α，1)，∴－tan α·cos α＝0，∴sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选C.

4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A.  B.

C.  D．2

解析：选B　以点A为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，所以λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得所以λ＋μ＝.故选B.

5．(2019·邹城期中)在△ABC所在平面上有三点P，Q，R，满足＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，则△PQR的面积与△ABC的面积之比是(　　)

A．1∶2  B．1∶3

C．1∶4  D．1∶5

解析：选B　由＋＋＝，得＋＝－＋，即＋＝＋＝，

∴＝2，则P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q，R的位置．

∴△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则S△PQR＝S△ABC－××bsin A＋×c×sin B＋×a×sin C＝S△ABC－×3S△ABC＝S△ABC，∴△PQR与△ABC的面积比为1∶3.故选B.

6．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m,3m－4)，b＝(1,2)，且平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)  B．(4，＋∞)

C．(－∞，4)∪(4，＋∞)  D．(－∞，＋∞)

解析：选C　平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m,3m－4)，b＝(1,2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．

7．(2019·淮南一模)已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC分别交于点M，N，且＝x，＝y (x，y>0)，则3x＋y的最小值是(　　)

A.  B.

C.  D.＋

解析：选D　如图．＝，＝，又∵＝＋，∴＝＋，又∵M，G，N三点共线，∴＋＝1.∵x>0，y>0，∴3x＋y＝(3x＋y)·＝1＋＋＋≥＋.当且仅当y＝x时取等号．故选D.

8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．2  B.

C．2  D．4

解析：选A　因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.

9.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－1,0)

解析：选D　由点D是圆O外一点，可设＝λ (λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ (μ>1)，则＝－－· (λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．

10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝________.

解析：a＋b＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．

答案：(4,6)

11.如图，在△ABC中，已知－＝，点P在线段BN上，若＝λ＋，则实数λ的值为________．

解析：－＝可化为＝，即＝，因为＝λ＋，所以＝λ＋.由B，P，N三点共线可得λ＝.

答案：

12．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．

解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.

答案：－

13.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．

解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以＋＝2，＋＝2，因为＋2＋3＝0，所以2＋4＝0，所以O，D，E三点共线，且＝.又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.

答案：3∶2

14.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．

解：不妨设圆O的半径为1，

则A(－1,0)，B(1,0)，D(0,1)，C，

所以＝，

＝.

又＝x＋y，

所以

＝x(－1,0)＋y.

所以

解之得

所以x＋y＝－＝－.

15．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

所以解得

(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，

所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．

所以M(0,20)．又因为＝－＝－2b，

所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．