新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测31《系统题型-平面向量的数量积及应用》(含解析)

课时跟踪检测（三十一）  系统题型——平面向量的数量积及应用

[A级　保分题——准做快做达标]

1．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝(　　)

A.　　　　　　　　　 B.3

C.  D．2

解析：选B　因为＋＝2，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB＝1，圆的半径为1，所以∠ACB＝30°，且AC＝，

则·＝||·||cos ∠ACB＝3.故选B.

2.(2019·广州综合测试)如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)

A.  B.

C．1  D．

解析：选C　∵扇形OAB的半径为1，∴| |＝1，∵OP⊥OB，∴·＝0.∵∠AOB＝，∴∠AOP＝，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝1＋||cos ＋||·||cos ≤1＋0×＋0×＝1，故选C.

3．(2019·南昌模拟)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的(　　)

A．充分不必要条件  B.必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　a·b＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos 2α，若a·b＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2kπ±(k∈Z)，解得α＝kπ±(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.

4.(2019·浙江部分市学校联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则·的最大值是(　　)

A．2  B.1

C．0  D．－1

解析：选B　连接BC，则∠ACB＝90°.∵AP⊥PC，∴·＝·(＋)＝·＝(＋)·＝2.依题意可证Rt△APC∽Rt△ACB，∴＝，即||＝.∵||2＋||2＝||2，∴||2＋||2＝4≥2||||，即||||≤2，当且仅当||＝||时取等号，∴||≤1，∴·＝2≤1，∴·的最大值为1，故选B.

5．(2019·四川双流中学月考)已知平面向量，满足||＝||＝1，·＝－.若||＝1，则||的最大值为(　　)

A.－1  B.－1

C.＋1  D．＋1

解析：选D　因为||＝||＝1，·＝－，所以cos ∠APB＝－，即∠APB＝，由余弦定理可得AB＝＝.如图，建立平面直角坐标系，则A，B，由题设点C(x，y)在以B为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC|max＝|AD|＝|AB|＋1＝＋1.故选D.

6．(2019·重庆梁平调研)过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为(　　)

A.  B.

C.  D．2－3

解析：选C　观察圆C的方程可知，圆心C在直线y＝x－2上运动，则|PC|≥＝2.设∠CPA＝θ，则·＝||||cos 2θ＝||2(2cos2θ－1)＝(||2－1)＝(||2－1)·＝||2＋－3，令||2＝x，设y＝x＋－3，则y＝x＋－3在[8，＋∞)上为增函数，故·≥8＋－3＝，故选C.

7.(2019·北京四中期中考试)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且＝－，则·＝________.

解析：根据题意得·＝·(－)＝·－×16＋×4－·＝－·－＝－×4×2×cos 120°－＝－4.

答案：－4

8．若a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最大值为________．

解析：依题意可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cos θ，sin θ)，则(a－c)·(b－c)＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin，所以(a－c)·(b－c)的最大值为1＋.

答案：1＋

9．(2018·泰安二模)已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．

解析：在△ABC中，设＝a，＝b，

则b－a＝－＝，

∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，

由正弦定理得＝，

∴|a|＝＝sin C，

∵0°<C<120°，∴sin C∈(0,1]，∴|a|∈.

答案：

10．(2019·河南豫南豫北联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝.

(1)若sin A＝，求cos C；

(2)若b＝4，求·的最小值．

解：(1)在△ABC中，由cos B＝得，sin B＝，∵sin B＝>sin A，∴B>A，故A为锐角，∴cos A＝，∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.

(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，

16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，

∴·＝accos(π－B)＝－accos B＝－ac≥－5.

故·的最小值为－5.

11．(2019·太原模拟)已知向量m＝，n＝，f(x)＝m·n.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且a＝2，(2a－b)cos C＝ccos B，f(A)＝，求c.

解：(1)∵f(x)＝m·n＝sin cos ＋cos2

＝sin ＋＝sin＋，

∴函数f(x)的最小正周期为3π，

令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，则－π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)∵(2a－b)cos C＝ccos B,

∴2sin Acos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)＝sin A，

∵0<A<π，∴sin A>0，∴cos C＝，∴C＝.

∵f(A)＝sin＋＝，

∴sin＝1，

∴＋＝＋2kπ，k∈Z，∴A＝，

∴c＝asin C＝2sin ＝.

[B级　难度题——适情自主选做]

1．在等腰三角形AOB中，若||＝||＝5，且|＋|≥||，则·的取值范围为(　　)

A．[－15,25)  B.[－15,15]

C．[0,25)  D．[0,15]

解析：选A　|＋|≥||＝|－|，所以|＋|2≥|－|2，即(＋)2≥(－)2，所以2＋2·＋2≥(2－2·＋2)，即52＋2·＋52≥(52－2·＋52)，则·≥－15.又·≤||||＝5×5＝25，当且仅当与同向时取等号，因此上式等号不成立，所以·的取值范围为[－15,25)，故选A.

2．已知a，b，e是同一平面内的三个向量，且|e|＝1，a⊥b，a·e＝2，b·e＝1，当|a－b|取得最小值时，a与e夹角的正切值为(　　)

A.  B.

C．1  D．

解析：选D　根据题意，分别以a，b为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设e与a的夹角为θ，θ为锐角，则e与b的夹角为－θ.∵|e|＝1，a⊥b，a·e＝2，b·e＝1，∴|a|·cos θ＝2，|b|·cos＝|b|·sin θ＝1，∴|a|＝，|b|＝，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当2sin2θ＝cos2θ，即tan θ＝时等号成立，此时|a－b|取得最小值3，且a与e夹角的正切值为，故选D.

3．(2019·武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)

A．1＋　　　　　　　　 B.1－

C.－1  D．1

解析：选A　如图，作出，使得＋＝，则(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.

4．(2019·江西吉安月考)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)．

(1)若|θ－φ|＝，求|a－b|的值；

(2)若θ＋φ＝，记f(θ)＝a·b－λ|a＋b|，θ∈，当1≤λ≤2时，求f(θ)的最小值．

解：(1)∵向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)，

∴a－b＝(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)，

∴|a－b|2＝(cos θ－cos φ)2＋(sin θ－sin φ)2

＝2－2cos(θ－φ)．

∵|θ－φ|＝，∴θ－φ＝±，

∴|a－b|2＝2－2cos ＝2－1＝1，或2－2cos＝2－1＝1，

∴|a－b|＝1.

(2)∵θ＋φ＝，θ∈，

∴a·b＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝cos(θ－φ)＝cos，

|a＋b|＝

＝2＝2cos，

∴f(θ)＝a·b－λ|a＋b|

＝cos－2λcos

＝2cos2－2λcos－1.

令t＝cos，则t∈，

∴g(t)＝2t2－2λt－1

＝22－－1.

又1≤λ≤2，≤≤1，

∴当t＝时，g(t)有最小值－－1，

∴f(θ)的最小值为－－1.