新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测34《等差数列及其前n项和》(含解析)

课时跟踪检测（三十四）  等差数列及其前n项和

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(　　)

A．30　　　　　　　　　 B．29

C．28  D．27

解析：选C　由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.

2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n－1}的前10项的和是(　　)

A．120  B．110

C．100  D．10

解析：选C　∵数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S10＝＝＝100.故选C.

3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于(　　)

A．2  B．0

C．－1  D．－2

解析：选D　因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.

4．(2019·张掖质检)设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35,2a4－a6＝7，则d＝(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：选C　∵{an}是等差数列，∴2a4－a6＝a4－2d＝a2＝7，∵a1a2＝35，∴a1＝5，∴d＝a2－a1＝2，故选C.

5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为(　　)

A．20  B．40

C．60  D．80

解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，由已知得即

解得∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．(2019·惠州调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.选B.

2．(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，＝a2，则a8＝(　　)

A．12  B．13

C．14  D．15

解析：选D　法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得＝1＋d，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15，故选D.

法二：S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，由＝a2可得＝a2，解得a2＝3或a2＝0(舍去)，则d＝a2－a1＝2，所以a8＝1＋7×2＝15，故选D.

3．(2019·南宁名校联考)等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于(　　)

A．－18  B．27

C．18  D．－27

解析：选B　法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝6，所以a1＋4d＝3.于是{an}的前9项和S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝9×3＝27，故选B.

法二：由等差数列的性质，得a1＋a9＝a3＋a7＝6，所以数列{an}的前9项和S9＝＝＝27，故选B.

4．(2019·中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　)

A．－45  B．－50

C．－55  D．－66

解析：选D　∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D.

5．(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)

A．1升  B．升

C.升  D．升

解析：选B　设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得即解得∴a5＝＋4×＝.故选B.

6．(2019·云南统一检测)已知等差数列{an}中，a1＝11，a5＝－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是(　　)

A．15  B．20

C．26  D．30

解析：选C　设数列{an}的公差为d，则d＝＝－3，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋14，由⇒解得≤n≤，即n＝4，所以{an}的前4项和最大，且S4＝4×11＋×(－3)＝26，故选C.

7．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018＝(　　)

A．2 018  B．－2 018

C．4 036  D．－4 036

解析：选C　设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，∴是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，又＝＝－2 015，∴是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，∴＝－2 015＋2 017×1＝2，∴S2 018＝4 036.故选C.

8．(2019·太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)

A．Sn<2Tn  B．b4＝0

C．T7>b7  D．T5＝T6

解析：选D　因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.

9．(2019·长春模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn有最大值，且<－1，则使得Sn>0的n的最大值为(　　)

A．2 018  B．2 019

C．4 035  D．4 037

解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，由题意知d<0，a2 018>0，a2 018＋a2 019<0，所以S4 035＝＝4 035a2 018>0，S4 036＝＝<0，所以使得Sn>0的n的最大值为4 035，故选C.

10．(2019·武汉模拟)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为(　　)

A．－10  B．－12

C．－9  D．－13

解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，

联立，解得或

当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，

∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；

当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，

∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．

综上，anan＋1的最小值为－12.

11．(2019·广州适应性测试)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，∴

解得∴an＝2n－1.

答案：2n－1

12．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．

解析：法一：设数列{an}的公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴an＝6n－3.

法二：设数列{an}的公差为d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，∴a6＝33，∴d＝＝6.∵a1＝3，∴an＝6n－3.

答案：an＝6n－3

13．(2019·南昌模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．

解析：依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0.又数列{an}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.

答案：6

14．(2019·石家庄重点高中摸底考试)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，则m＋n的值是________．

解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化简得(m＋n＋3)(m－n)＝12，因为m>n>0，m，n∈N*，所以或解得或(舍去)，所以m＋n＝9.

答案：9

15．(2019·江西三校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝45，S6＝60.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求的前n项和Tn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

则a6＝S6－S5＝15，所以

解得a1＝5，d＝2，所以an＝2n＋3.

(2)bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1

＝an－1＋an－2＋…＋a1＋3＝n2＋2n，

所以＝＝，

所以Tn＝＝.

16．(2019·辽宁五校协作体模考)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1<a2)分别为方程x2－6x＋5＝0的两个实根．

(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)在(1)中，设bn＝，求证：当c＝－时，数列{bn}是等差数列．

解：(1)∵a1，a2(a1<a2)分别为方程x2－6x＋5＝0的两个实根，

∴a1＝1，a2＝5，∴等差数列{an}的公差为4，

∴Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.

(2)证明：当c＝－时，bn＝＝＝2n，

∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.

∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.