新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测35《等比数列及其前n项和》(含解析)
展开课时跟踪检测（三十五） 等比数列及其前n项和
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·榆林名校联考)在等比数列{an}中，a1＝1，a3＝2，则a7＝( )
A．－8 B．8
C．8或－8 D．16或－16
解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a3＝2，∴q2＝2，∴a7＝a3q4＝2×22＝8.故选B.
2．(2019·六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值是( )
A.或－ B．－
C. D．
解析：选C 由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.故选C.
3．(2019·湖北稳派教育联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝( )
A．12 B．4
C．6 D．32
解析：选B 由等比数列的性质得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8，∵an>0，∴a8＝2，a9＝2，∴a8a9＝4.故选B.
4．(2019·成都模拟)设{an}是公比为负数的等比数列，a1＝2，a3－4＝a2，则a3＝( )
A．2 B．－2
C．8 D．－8
解析：选A 法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝2，a3－a2＝a1(q2－q)＝4，所以q2－q＝2，解得q＝2(舍去)或q＝－1，所以a3＝a1q2＝2，故选A.
法二：若a3＝2，则a2＝2－4＝－2，此时q＝－1，符合题意，故选A.
5．(2019·益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为( )
A．3 B．5
C．9 D．25
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，所以＝＝q2＝25.故选D.
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2019·长沙一模)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：选D 由等比数列前n项和公式Sn＝，代入数据可得Sn＝3－2an.
2．(2019·山东五校联考)已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S2＝2，S4＝8，则S8＝( )
A．16 B．128
C．54 D．80
解析：选D 由等比数列的性质可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6也成等比数列，∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，∵S2＝2，S4＝8，∴36＝2(S6－8)，即S6＝26.又(S4－S2)(S8－S6)＝(S6－S4)2，∴S8＝54＋S6＝80.故选D.
3．(2019·湖北华师一附中联考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
解析：选A 因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1，故选A.
4．(2018·南宁测试)等差数列{an}的公差是2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D．
解析：选A 由已知得，a＝a2·a8，因为{an}是公差为2的等差数列，故(a2＋2d)2＝a2·(a2＋6d)，(a2＋4)2＝a2·(a2＋12)，解得a2＝4，所以an＝a2＋(n－2)d＝2n，故Sn＝＝n(n＋1)．
5．(2019·吉林部分学校高三仿真考试)《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”，则该匹马第一天走的里数为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{an}，且公比q＝，S7＝700，由等比数列的求和公式得Sn＝＝700，解得a1＝，故选B.
6．(2019·衡水中学调研)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4＝( )
A．63或120 B．256
C．120 D．63
解析：选C 由题意得解得或又<1，所以数列{an}为递减数列，故设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，因为数列为正项等比数列，所以q＝，从而a1＝64，所以S4＝＝120.选C.
7．(2019·衡水模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．80 B．30
C．26 D．16
解析：选B 由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．
设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.
8．(2019·湖北黄石三中检测)已知数列{an}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：选D ∵{an}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.
9．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－，所以q3＝，q＝，易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2×＝24×8＝192，T4＝(－24)4×6＝84×＝>192，T6＝(－24)6×15＝86×9＝＝×<，所以T4最大．故选C.
10．(2019·南昌模拟)在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C ∵a2an－1＋a3an－2＝2a1an＝256，∴a1an＝128，由解得或设等比数列{an}的公比为q，
①当时，Sn＝＝＝＝126，解得q＝2，∴n＝6.
②当时，Sn＝＝＝＝126，解得q＝，∴n＝6.
综上n＝6.故选C.
11．(2019·惠州一调)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a，a2＝1，则a1＝________.
解析：∵a3a9＝a，∴a＝2a，设等比数列{an}的公比为q，∴q2＝2，由于q>0，解得q＝，∴a1＝＝.
答案：
12．(2019·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2a4＝a5，a4＝8，∴解得∴Sn＝＝2n－1.
答案：2n－1
13．(2019·仙桃测试)各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________．
解析：设{an}的公比为q，则根据题意得q＝＝，∴≤q≤2，a4＝a3q≥，a4＝a2q2≤8，∴a4∈.
答案：
14．(2019·武汉模拟)已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若n2(Tn＋1)＝2nSn，n∈N*，则d＝________，q＝________.
解析：由题意得，＝⇒＝，∴q＝2，＝1，a1＝，＝1，此时d＝2，q＝2.
答案：2 2
15．在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)证明：∵a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即＝.
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴＝2，
∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，
∴an＝3·2n－1－1，∴Sn＝－n＝3·2n－n－3.
16．设数列{an}的各项均为正数，且a2＝4a1，an＋1＝a＋2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{log3(1＋an)}为等比数列；
(2)设数列{log3(an＋1)}的前n项和为Tn，求使Tn>520成立时n的最小值．
解：(1)证明：由已知，得a2＝a＋2a1＝4a1，
则a1(a1－2)＝0，
因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＝2.
因为an＋1＋1＝(an＋1)2>0，
所以log3(an＋1＋1)＝2log3(an＋1)．
又log3(a1＋1)＝log33＝1，
所以数列{log3(1＋an)}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)可知，log3(1＋an)＝2n－1，
所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
由Tn>520，得2n>521(n∈N*)，得n≥10.
则使Tn>520成立时n的最小值为10.
