新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测47《系统题型-圆的方程直线与圆及圆与圆的位置关系》(含解析)

课时跟踪检测（四十七）系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

 [A级　保分题——准做快做达标]

1．(2019·昆明模拟)若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1,1)，则直线AB的方程是(　　)

A．x－y＝0　　　　　　　 　B．x＋y＝0

C．x－y－2＝0   D．x＋y－2＝0

解析：选D　因为直线OD的斜率kOD＝1，所以直线AB的斜率kAB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.

2．(2019·湖北七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)

A．3   B．4

C．2   D．8

解析：选B　由题意知O1(0,0)与O2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜3.再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2＝5＋20＝25，∴m＝±5，∴×5＝2×，解得|AB|＝4.故选B.

3．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(－∞，－6)   D．(－6，＋∞)

解析：选C　∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴2－b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6.综上，实数b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.

4．(2019·重庆一中模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为(　　)

A．±1   B．±

C．±   D．±

解析：选B　由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即＝1，解得a＝±.

5．(2019·昆明高三质检)已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为(　　)

A．3＋或3－   B．3＋2或3－2

C．9或－3   D．8或－2

解析：选A　由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，AC＝，∠ACD＝60°，所以CD＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝3±，故选A.

6．(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是(　　)

A．直角三角形   B．锐角三角形

C．钝角三角形   D．以上情况都有可能

解析：选C　由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝＞2，所以

c2＞a2＋b2，在△ABC中，cos C＝＜0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．

7．(2019·武汉模拟)若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为________．

解析：圆x2＋y2－2x＋4y＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x＋y＋m＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m＝0，得m＝0.

答案：0

8．(2019·成都摸底)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.

解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝＝3.

答案：3

9．(2019·广西两市联考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________________．

解析：设圆心为(a，b)(a＞0，b＞0)，半径为r，则由题可知a＝2b，a＝r，r2＝b2＋3，解得a＝r＝2，b＝1，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

10．(2019·广东佛山一中检测)已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．

(1)写出圆C的标准方程；

(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．

解：(1)由题意知，圆C的半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.

(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，则＝，

所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，

故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.

由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.

11．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

(1)证明：坐标原点O在圆M上；

(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．

解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.

由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.

又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.

因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．

(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，

圆M的半径r＝.

由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，

故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，

即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.

由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.

所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.

当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.

当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.

[B级　难度题——适情自主选做]

1．(2019·成都名校联考)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是(　　)

A．－   B．

C．－ D．0

解析：选A　在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.

2．(2019·天津南开中学月考)若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)

A. B．1

C.   D．

解析：选B　因为a2＋b2＝c2，所以圆心O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝，所以直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为2＝2×＝1，选B.

3．(2019·贵州安顺摸底)已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．

(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；

(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝时，求MN所在直线的方程．

解：(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，

∴1＋a2≥4，∴a≥或a≤－，

即实数a的取值范围为(－∞，－ ]∪[，＋∞)．

(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．

∵|MN|＝，∴|DM|＝.

又|MC|＝2，∴|CD|＝ ＝，

∴cos∠MCA＝＝，|AC|＝＝＝，

∴|OC|＝2，|AM|＝1.

∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，

圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，

∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0，或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.