新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测39《空间点直线平面之间的位置关系》(含解析)

课时跟踪检测（三十九） 空间点、直线、平面之间的位置关系

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．下列命题中，真命题的个数为(　　)

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.

A．1　　　　　　　　　　 　B．2

C．3   D．4

解析：选B　根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.

2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交

C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

解析：选C　如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾．故选C.

3．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A　若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

4．(2019·银川一中模拟)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．90°

解析：选A　如图，取AC的中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝2，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，则cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．下列说法错误的是(　　)

A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直

C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直

D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

解析：选D　两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.

2．(2019·长春质检)平面α，β的公共点多于两个，则

①α，β平行；

②α，β至少有三个公共点；

③α，β至少有一条公共直线；

④α，β至多有一条公共直线．

以上四个判断中不成立的个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：选C　由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．

3．(2019·云南大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是(　　)

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；

②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；

③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；

④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．

A．①与②   B．②与③

C．③与④   D．②与④

解析：选D　直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．

4．(2019·成都模拟)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：

①四边形EFGH是平行四边形；

②平面α∥平面BCC1B1；

③平面α⊥平面BCFE.

其中正确的命题有(　　)

A．①②   B．②③

C．①③   D．①②③

解析：选C　由题意画出草图如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．综上可知，故选C.

5.(2019·广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确结论的个数是(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选B　画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．所以正确结论的个数是2.

6．(2019·常德期末)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)

A．AB∥CD   B．AB与CD相交

C．AB⊥CD   D．AB与CD所成的角为60°

解析：选D　如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C不正确．图②中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.

7．(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选A　如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.

8．(2019·福州质检)在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线(　　)

A．不存在   B．有且只有两条

C．有且只有三条   D．有无数条

解析：选D　在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．

9.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法中正确的是________(填序号)．

①EF与GH平行；

②EF与GH异面；

③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；

④EF与GH的交点M一定在直线AC上．

解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．

答案：④

10．(2019·南京模拟)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．

①若α∥β，m⊂α，则m∥β；

②若m∥α，n⊂α，则m∥n；

③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；

④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.

解析：由α∥β，m⊂α，可得m∥β，所以①正确；由m∥α，n⊂α，可得m，n平行或异面，所以②不正确；由α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，可得m与β相交或m⊂β，所以③不正确；由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，所以④正确．综上，正确命题的序号是①④.

答案：①④

11．(2019·广东百校联盟联考)如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________．

解析：不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角．在△OEC中，边长EC＝，OC＝，OE＝，由余弦定理可得cos∠OEC＝＝.即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为.

答案：

12．(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．

①不论D折至何位置(不在平面内)都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.

解析：如图，①易证ABCE为矩形，连接AC，则N在AC上，连接CD，BD，易证在△ACD中，MN为中位线，MN∥DC，又MN⊄平面DEC，∴MN∥平面DEC.①正确．

②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，ED∩EC＝E，

∴AE⊥平面CED，

又CD⊂平面CED，

∴AE⊥CD，∴MN⊥AE，②正确．

③MN与AB异面．假若MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，

从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾．③错误．

答案：①②

13.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.

(1)求a的值；

(2)求三棱锥B1­A1BC的体积．

解：(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC＝60°.又AA1⊥平面ABC，AB＝AC，则A1B＝A1C，∴△A1BC为等边三角形，由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°⇒BC＝，∴A1B＝⇒＝⇒a＝1.

(2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB＝A，∴CA⊥平面A1B1B，∴VB1­A1BC＝VC­A1B1B＝××1＝.

14.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.