新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测49《椭圆》(含解析)

课时跟踪检测（四十九） 椭圆

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m＜n＜0)的焦点坐标是(　　)

A．(0，±)　　　　　 　B．(±，0)

C．(0，±)   D．(±，0)

解析：选C　化为标准方程是＋＝1，

∵m＜n＜0，∴0＜－n＜－m.

∴焦点在y轴上，且c＝＝.

2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1 B．x2＋＝1

C.＋y2＝1   D.＋＝1

解析：选B　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，

故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.

又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，

则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.

3．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5   B．7

C．13   D．15

解析：选B　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.

4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　∵＝2，∴||＝2||.又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.

5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋y2＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选C　由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.

6．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c.∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的(　　)

A．长轴长相等　　　　　　 　B．短轴长相等

C．离心率相等   D．焦距相等

解析：选D　曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为 .对照选项，知D正确．故选D.

2．(2019·德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)

A．24   B．12

C．8   D．6

解析：选C　∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C.

3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2   B.

C.   D.

解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，

由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·

＝·，

当t＝0时，|AB|max＝.

4．(2019·贵阳摸底)P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D.

5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为，将x＝代入圆D的方程得y＝±，不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程可得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝＝.

6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选C　由题意知双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为2，所以点(，)在椭圆上，所以＋＝1.                                                                      ①

又椭圆的离心率为，

所以＝，所以a2＝2b2.     ②

由①②得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选C.

7．(2019·安阳模拟)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且·(＋)＝0(O为坐标原点)，若||＝||，则椭圆的离心率为(　　)

A.－   B.

C.－   D.

解析：选A　以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，

由·(＋)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴||＝||，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得∴e＝＝＝－.故选A.

8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)

A．5   B．4

C．3   D．2

解析：选A　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.

9．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)

A．[0,3)　　　　　　　 　B．(0,2)

C．[2，3)   D．(0,4]

解析：选B　如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.

∵·＝0，∴⊥.

又MP为∠F1PF2的平分线，

∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．

∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.

∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，

∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.

∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，

∴||∈(0,2)．

10．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P在椭圆上且满足·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　设P(x，y)，则＋＝1，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)．

所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.

因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.

所以b2－c2≤c2≤b2.

所以2c2≤a2≤3c2.

所以≤≤.故选B.

11．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________．

解析：当k＞4 时，有e＝ ＝，解得k＝；当0＜k＜4时，有e＝ ＝，解得k＝.故实数k的值为或.

答案：或

12．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________．

解析：∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，∴2－1＋＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.又∵0＜e＜1，∴0＜e＜.∴椭圆的离心率e的取值范围是.

答案：

13.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．

 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.

答案：

14．(2019·辽宁联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

解析：在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)．

∵|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号， ∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|－|PF2|)max＝＝5，此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5＝15.

答案：15

15．(2019·武汉调研)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．

(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；

(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．

解：(1)S△FAB＝|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝.

(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，则＋y2＝1，＋y＝1，

kMA·kMB＝·＝＝＝＝－＝－，

所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝，

所以椭圆的离心率e＝＝＝.

16．(2019·广东七校联考)已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．

解：(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝2，得b＝2.故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.

(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，

由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，则k＞0或k＜－.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

从而k1＋k2＝＋＝

＝2k－(k－4)＝4.

当直线l的斜率不存在时，得A，B.所以k1＋k2＝4.

综上，恒有k1＋k2＝4.