新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测53《审题上-4大策略找到解题突破口》(含解析)

课时跟踪检测（五十三） 审题上——4大策略找到解题突破口

1．已知椭圆C经过点，且与椭圆E：＋y2＝1有相同的焦点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4交于点Q，问：以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)椭圆E的焦点为(±1,0)，

设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则解得

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)联立消去y，

得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，

即m2＝3＋4k2.

设P(xP，yP)，

则xP＝＝，yP＝kxP＋m＝＋m＝，

即P.假设存在定点M(s，t)满足题意，

因为Q(4,4k＋m)，

则＝，MQ＝(4－s,4k＋m－t)，

所以·＝(4－s)＋(4k＋m－t)＝(1－s)－t＋(s2－4s＋3＋t2)＝0恒成立，

故解得

所以存在点M(1,0)符合题意．

2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．

解：(1)依题意得解得

∴椭圆C的方程是＋＝1.

(2)设P(x0，y0)(－＜y0＜，y0≠0，x0＞0)，

设线段AP中点为M，又A(3,0)，

∴AP中点M，直线AP的斜率为，

由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，

∴直线AP的垂直平分线方程为

y－＝－，

令x＝0得B，

∵＋＝1，∴B，

由F(－2,0)，∴四边形FPAB的面积S＝＝≥5，

当且仅当2|y0|＝，即y0＝±时等号成立，

四边形FPAB面积的最小值为5.

3．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围．

解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆的方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，故a＝2b2.

又e＝＝，则＝，即a＝2b，所以a＝2，b＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由PM是∠F1PF2的角平分线，

可得＝，即＝.

设点P(x0，y0)(－2＜x0＜2)，

又点F1(－，0)，F2(，0)，M(m,0)，

则|PF1|＝ ＝2＋x0，

|PF2|＝ ＝2－x0.

又|F1M|＝|m＋|，|F2M|＝|m－|，

且－＜m＜，所以|F1M|＝m＋，|F2M|＝－m.

所以＝，化简得m＝x0，

而－2＜x0＜2，因此－＜m＜.

所以m的取值范围为.

4．(2019·贵阳检测)已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点．在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

(1)求C1，C2的标准方程；

(2)已知定点C，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求△ABC面积的最大值．

解：(1)设C1：＋＝1(a＞b＞0)，

由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，

则点也在椭圆上，分别将其代入，

得解得

∴C1的标准方程为＋y2＝1.

设C2：x2＝2py(p＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，

代入抛物线C2的方程，得p＝1，

∴C2的标准方程为x2＝2y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P，

由y＝x2知y′＝x，

故直线AB的方程为y－t2＝t(x－t)，

即y＝tx－t2，代入椭圆方程＋y2＝1，

整理得(1＋4t2)x2－4t3x＋t4－4＝0，

则Δ＝16t6－4(1＋4t2)(t4－4)＝4(－t4＋16t2＋4)＞0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|AB|＝·

＝，

设点C到直线AB的距离为d，

则d＝＝，

∴S△ABC＝·|AB|·d

＝··

＝

＝≤＝，

当且仅当t＝±2时，取等号，此时满足Δ＞0.

综上，△ABC面积的最大值为.