新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测50《双曲线》(含解析)

课时跟踪检测（五十）  双曲线

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)

A．(－，0)，(，0)　　　 　B．(－2,0)，(2,0)

C．(0，－)，(0，)   D．(0，－2)，(0,2)

解析：选B　∵双曲线方程为－y2＝1，

∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，

∴c＝＝＝2，

即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．

2．(2019·南宁摸底联考)双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

解析：选D　在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，∴其渐近线方程为y＝±x，故选D.

3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±x的是(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

解析：选D　对于A，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于B，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于C，渐近线方程为y＝±x；对于D，渐近线方程为y＝± x．故选D.

4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)

A．4(1＋) B．4＋

C．2(＋)   D.＋3

解析：选A　设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故选A.

5．(2019·合肥一模)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－2x，则该双曲线的离心率是(　　)

A．   B．

C． D．2

解析：选C　由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线的一条渐近线方程为y＝－2x，得＝2，则b＝2a，则双曲线的离心率e＝＝＝＝＝.故选C.

6．(2019·德州一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(，3)，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

解析：选C　双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的一条渐近线过点(，3)，可得＝，                                                                                                                ①

由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y2＝16x的准线x＝－4上，可得c＝4，

即有a2＋b2＝16，        ②

由①②解得a＝2，b＝2，

则双曲线的方程为－＝1.故选C.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)

A.　　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选D　法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.

法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.

2．(2019·黄冈质检)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C．2   D.

解析：选A　连接OM.由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，

∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin 45°，即a＝c·，

∴e＝＝.故选A.

3．(2019·银川模拟)已知双曲线－＝1(0＜a＜1)的离心率为，则a的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　∵c2＝a2＋1－a2＝1，∴c＝1，又＝，∴a＝，故选B.

4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)

A．－＝1   B．－y2＝1

C．－＝1 D．x2－＝1

解析：选D　因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.

5．(2019·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故选C.

6．(2019·天津和平一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为(　　)

A．x2－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

解析：选C　由题意可知e＝＝，可得＝，

取一条渐近线为y＝x，

可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，

在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，

由题意可得ab＝，联立解得

所以双曲线的方程为－＝1.故选C.

7．(2019·湘中名校联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　将x＝c代入－＝1得y＝±，

不妨取A，B，所以|AB|＝.

将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，

不妨取C，D，所以|CD|＝.

因为|AB|≥|CD|，所以≥×，

即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，

即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥.

8．(2019·桂林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　由条件得|OP|2＝2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.∴双曲线离心率的取值范围是.

9．(2019·惠州调研)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝(　　)

A．1 B．2

C．4   D．

解析：选A　如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.

10．(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A．x±y＝0   B．x±y＝0

C．x±2y＝0 D．2x±y＝0

解析：选B　假设点P在双曲线的右支上，

则

∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.

∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，

∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.

在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，

∴c2－2ac＋3a2＝0，

∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝，

∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，

∴＝，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.

11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.

解析：∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.

答案：5

12．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知

|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，

由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.

联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，

所以y1＋y2＝，所以＝p，

即＝，故＝，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.

答案：y＝±x

13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线－＝1(a＞0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．

解析：易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线－＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.

答案：

14．(2019·南昌调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________．

解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)，即ax＋by－ac＝0.又圆(x－a)2＋y2＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d＝＝＝，又e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2.

答案：2

15．(2019·西安铁一中模拟)已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．

解：(1)由题易知F2(，0)，可设M(，y1)．

因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以1＋b2－＝1，得y1＝b2，所以|F2M|＝b2.在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝b2＝2，故双曲线C的方程为x2－＝1.

(2)易知两条渐近线方程分别为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0.

设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，

不妨设P1在l1上，P2在l2上，

则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝，|PP2|＝.

因为P(x0，y0)在双曲线x2－＝1上，

所以2x－y＝2，

又易知cos θ＝，

所以·＝·cos θ＝·＝.

16．(2019·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．

解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，

所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，

所以双曲线的方程为－＝1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，

所以x0＝y0，①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，

将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，

所以x0＝c，所以点A的坐标为，

代入双曲线方程得－＝1，

即b2c2－a2c2＝a2b2，②

又因为a2＋b2＝c2，

所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，

所以34－82＋4＝0，

所以(3e2－2)(e2－2)＝0，

因为e＞1，所以e＝，

所以双曲线的离心率为.