新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测54《解题上-5大技法破解“计算繁而杂”这一难题》(含解析)

课时跟踪检测（五十四）解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题

1．(2018·惠州二模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选D　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.

2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C． D．1

解析：选C　如图所示，

设P(x0，y0)(y0＞0)，则y＝2px0，

即x0＝.

设M(x′，y′)，由＝2，

得化简可得

∴直线OM的斜率k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．

3．(2019·合肥质检)如图，椭圆＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(　　)

A．20   B．10

C．2   D．4

解析：选D　由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.

4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且·最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　)

A．(1，]   B．[，2]

C．(0，]   D．[2，＋∞)

解析：选B　设P(x0，y0)，

则·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)

＝x－c2＋y＝a2－c2＋y，

上式当y0＝0时取得最小值a2－c2，

根据已知－c2≤a2－c2≤－c2，

所以c2≤a2≤c2，即2≤≤4，即≤≤2，

所以所求双曲线的离心率的取值范围是[，2]．

5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ (λ＞1)，则λ的值为(　　)

A．5 B．4

C．   D．

解析：选B　根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由＝λ，得＝λ，

故－y1＝λy2，即λ＝－.

设直线AB的方程为y＝，

联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－py－p2＝0.

故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，

则＝＋＋2＝－，

即－λ－＋2＝－.

又λ＞1，解得λ＝4.

6．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为________．

解析：由已知得c＝5，

设椭圆的方程为＋＝1，

联立

消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

由根与系数的关系得x1＋x2＝，

由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，

所以该椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

7．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为________．

解析：由题意，设A(cos θ，sin θ)，P(x，x＋2)，

则B(－cos θ，－sin θ)，

∴＝(cos θ－x，sin θ－x－2)，

＝(－cos θ－x，－sin θ－x－2)，

∴·＝(cos θ－x)(－cos θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2)

＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ

＝2x2＋4x＋3

＝2(x＋1)2＋1，

当且仅当x＝－1，即P(－1，1)时，·取最小值1.

答案：1

8．(2019·武汉调研)已知A，B分别为椭圆＋＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝ x的距离为1，则该椭圆的离心率为________．

解析：根据椭圆的标准方程＋＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直线y＝ x＝x，即x－3y＝0.又点A到直线y＝ x的距离为1，∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝.

答案：

9．已知椭圆C：＋y2＝1过点A(2,0)，B(0,1)两点．设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

解：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，

又A(2,0)，B(0,1)，

所以，直线PA的方程为y＝(x－2)，

令x＝0，得yM＝－，

从而|BM|＝1－yM＝1＋，

直线PB的方程为y＝x＋1，

令y＝0，得xN＝－，

从而|AN|＝2－xN＝2＋，

所以四边形ABNM的面积

S＝|AN||BM|＝

＝

＝

＝2，

从而四边形ABNM的面积为定值．

10．已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝.

(1)求此椭圆的方程；

(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．

解：(1)设焦距为2c，∵e＝＝，a2＝b2＋c2，

∴＝.由题意可知＝，∴b＝1，a＝，

∴椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，

得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，

又直线与椭圆有两个交点，

所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，解得k2＞1.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

若以CD为直径的圆过E点，

则·＝0，

即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，

而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)

＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，

所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2

＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5

＝－＋5＝0，

解得k＝，满足k2＞1，所以k＝.