新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测61《古典概型与几何概型》(含解析)

课时跟踪检测（六十一） 古典概型与几何概型

1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选B　从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P＝＝＝.故选B.

2．(2019·贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　基本事件总数n＝34＝81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m＝CA＝36，故这三个项目都有人参加的概率为P＝＝＝.

3．(2019·广东五校联考)从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为＝，选C.

4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　　)

A.   B.

C．1－ D．1－

解析：选D　直角三角形的斜边长为＝17，

设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.

∴内切圆的面积为πr2＝9π，

∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.

5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析：选A　设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，则∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.

6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是(　　)

A．2－ B．4－

C．4－   D．4

解析：选B　设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24×＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B.

7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.

8．(2019·安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是(　　)

A．－π B．1－π 

C．   D．

解析：选B　如图，正△ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，为半径，在△ABC内部画圆弧，得到三个扇形，则点P在这三个扇形外，因此所求概率为＝1－π，故选B.

9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.

10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2   B．p1＝p3

C．p2＝p3   D．p1＝p2＋p3

解析：选A　法一：∵S△ABC＝AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为π·2＝AB2，以AC为直径的半圆的面积为π·2＝AC2，以BC为直径的半圆的面积为π·2＝BC2，

∴SⅠ＝AB·AC，SⅢ＝BC2－AB·AC，

SⅡ＝－

＝AB·AC.

∴SⅠ＝SⅡ.

由几何概型概率公式得p1＝，p2＝，

∴p1＝p2.故选A.

法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，

AB＝AC＝2，则BC＝2，

所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，

为S1＝×2×2＝2，

区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，

区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.

根据几何概型的概率计算公式，

得p1＝p2＝，p3＝，

所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.

11．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲＞乙的概率是________．

解析：设污损处的数字为m，由(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m＝6,7,8,9时，甲＞乙，故所求概率为＝.

答案：

12．(2018·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．

解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝＝.

答案：

13．(2019·南京模拟)口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．

解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为＝.

答案：

14．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

(1)求n的值．

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；

②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．

解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为＝，得n＝2.

(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝＝.

②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为

Ω＝，

由几何概型得概率为P＝＝1－.

15．(2019·昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．

(1)求图中a的值；

(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；

(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．

解：(1)由频率分布直方图可知，

周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4，

4．5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，

由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a.解得a＝0.30.

(2)设中位数为m h.

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72＞0.5，

而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5.

由0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.

故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.

(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率为＝.