2020版高考数学一轮复习课后限时集训9《对数与对数函数》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(九)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2019·大同模拟)已知log7[log3(log2x)]=0，那么x－等于(　　)

A．　　　　B.　　　　C．　　　　D.

D　[由log7[log3(log2x)]=0得log3(log2x)=1，

∴log2x=3，∴x=8，则x－=8－=，故选D.]

2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图像为(　　)

C　[先作出当x≥0时，f(x)=ln(x＋1)的图像，显然图像经过点(0,0)，且在(0，＋∞)上缓慢增长．再把此图像关于y轴对称，可得函数f(x)在R上的大致图像，如选项C所示，故选C．]

3．(2019·衡水模拟)函数y=的定义域是(　　)

A．[1,2] B．[1,2)

C． D．

D　[由题意知即

解得＜x≤1，故选D.]

4．(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a=－f，b=f(log2 4.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c B．b<a<c

C．c<b<a D．c<a<b

C　[∵f(x)在R上是奇函数，

∴a=－f=f=f(log25)．

又f(x)在R上是增函数，且log25>log24.1>log24=2>20.8，

∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.

故选C．]

5．(2019·龙岩模拟)已知y=loga(2－ax)(a＞0，且a≠1)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1) B．(0,2)

C．(1,2) D．[2，＋∞)

C　[由题意知解得1＜a＜2，故选C．]

二、填空题

6．已知log147=a，log145=b，则用a，b表示log3528=________.

　[log3528====，∵log147=a，log145=b，∴原式=.]

7．已知函数f(x)=则f(f(1))＋f=________.

5　[f(1)=0，则f(f(1))=f(0)=2，

f(log3)=3－log3＋1=3log32＋1=3，

因此f(f(1))＋f(log3)=5.]

8．设函数f(x)=则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为________．

　[原不等式等价于或解得≤x≤1或1＜x≤4，即实数x的取值集合为.]

三、解答题

9．设f(x)=loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)=2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

[解]　(1)因为f(1)=2，

所以loga4=2(a＞0，a≠1)，

所以a=2.

由得x∈(－1,3)，

所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)=log2(1＋x)＋log2(3－x)

=log2[(1＋x)(3－x)]=log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)=log24=2.

10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)=0，当x＞0时，f(x)=logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)＞－2.

[解]　(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)=log(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)=f(x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)=

(2)因为f(4)=log4=－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|＜4，解得－＜x＜，

即不等式的解集为(－，)．

B组　能力提升

1．若函数f(x)=log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)　　　　　 B．(－4,4]

C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)

D　[由题意知函数y=x2－ax－3a在区间(－∞，－2]上是减函数，且y＞0恒成立，

则有解得－4≤a＜4，故选D.]

2．函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________．

－　[依题意得f(x)=log2x·(2＋2log2x)=(log2x)2＋log2x=2－≥－，当且仅当log2x=－，即x=时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.]

3．(2019·福州模拟)若函数f(x)=(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

(1,2]　[当x≤2时，y=－x＋6≥4.∵f(x)的值域为[4，＋∞)，

∴当a>1时，3＋logax>3＋loga2≥4，∴loga2≥1，

∴1<a≤2；

当0<a<1时，3＋logax<3＋loga2，不合题意．

故a∈(1,2]．]

4．已知函数f(x)=log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)=1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)因为f(1)=1，所以log4(a＋5)=1，

因此a＋5=4，a=－1，此时f(x)=log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，

所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．

令g(x)=－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．

又y=log4x在(0，＋∞)上递增，

所以f(x)的递增区间是(－1,1)，

递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，

则h(x)=ax2＋2x＋3应有最小值1，

即解得a=.

故存在实数a=使f(x)的最小值为0.