2020版高考数学一轮复习课后限时集训28《数列的概念与简单表示法》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(二十八)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于(　　)

A．　　 B．cos

C．cosπ D．cosπ

[答案]　D

2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an－1)，则an=(　　)

A．2n B．2n－1

C．2n D．2n－1

C　[当n=1时，a1=S1=2(a1－1)，可得a1=2，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2an－2an－1，所以an=2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an=2n.]

3．数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3＋a5=(　　)

A．　　　B.

C．　　　D.

A　[由题意知a1·a2=4，a1·a2·a3=9，a1a2a3a4=16，a1a2a3a4a5=25，则a3=，a5=，则a3＋a5=，故选A．]

4．已知数列{an}满足a1=0，an＋1=an＋2n－1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)

A．an=n－1 B．an=(n－1)2

C．an=(n－1)3 D．an=(n－1)4

B　[由题意知an－an－1=2n－3(n≥2)，

则an=(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

=(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1

==(n－1)2.故选B.]

5．若数列{an}满足a1=，an=1－(n≥2，且n∈N*)，则a2 018等于(　　)

A．－1　　　　B.

C．1　　　　D．2

A　[a1=，a2=1－=－1，a3=1－=2，a4=1－=，….

因此数列{an}是以3为周期的数列．

从而a2 018=a2=－1，故选A．]

二、填空题

6．若数列{an}的前n项和Sn=n2－n，则数列{an}的通项公式an=________.

n－1　[当n=1时，a1=S1=.

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2－n－(n－1)2－(n－1)=－1.

又a1=适合上式，则an=n－1.]

7．在数列{an}中，a1=1，an=an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an=________.

　[由an=an－1得=，

∴an=××…××a1

=××…××1=.

当n=1时，a1=1适合上式．

故an=.]

8．(2019·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn＋1=2Sn－1(n∈N*)，则a10=________.

256　[因为a1=2，Sn＋1=2Sn－1，所以Sn＋1－1=2(Sn－1)，所以{Sn－1}是等比数列，且公比为2，所以Sn－1=2n－1，所以Sn=2n－1＋1，所以a10=S10－S9=29－28=256.]

三、解答题

9．已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn=(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn=3n＋2n＋1，求an.

[解]　(1)因为a5＋a6=S6－S4=(－6)－(－4)=－2，

当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，

an=Sn－Sn－1=(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)=(－1)n＋1·[n＋(n－1)]=(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，所以an=(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因为当n=1时，a1=S1=6，

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]=2×3n－1＋2.

由于a1不适合此式，所以an=

10．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn=a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)由Sn=a＋an(n∈N*)，

可得a1=a＋a1，解得a1=1；

S2=a1＋a2=a＋a2，

解得a2=2；

同理a3=3，a4=4.

(2)Sn=a＋an，①

当n≥2时，Sn－1=a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)=0.

由于an＋an－1≠0，所以an－an－1=1，

又由(1)知a1=1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an=n.

B组　能力提升

1．已知各项都为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a=0，且a1=2，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an=2n－1　　　　　　B．an=3n－1

C．an=2n D．an=3n

C　[∵a－an＋1an－2a=0，

∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)=0.

∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋1＋an＞0，

∴an＋1－2an=0，

即an＋1=2an(n∈N*)，

∴数列{an}是以2为公比的等比数列．

∵a1=2，∴an=2n.]

2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋=，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an=n B．an=n2

C．an= D．an=

B　[∵＋＋…＋=，

∴＋＋…＋=(n≥2)，

两式相减得=－=n(n≥2)，∴an=n2(n≥2)，①

又当n=1时，==1，a1=1，适合①式，∴an=n2，n∈N*.故选B.]

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an＋1=3Sn，则an=__________.

　[由an＋1=3Sn，得an=3Sn－1(n≥2)，

两式相减可得an＋1－an=3Sn－3Sn－1=3an(n≥2)，

∴an＋1=4an(n≥2)．

∵a1=1，a2=3S1=3≠4a1，

∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，

∴an=a2qn－2=3×4n－2(n≥2)．

故an=]

4．已知数列{an}的通项公式是an=n2＋kn＋4.

(1)若k=－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

[解]　(1)由n2－5n＋4<0，

解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n=2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.

因为an=n2－5n＋4=2－，

由二次函数性质，得当n=2或n=3时，an有最小值，其最小值为a2=a3=－2.

(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，

又因为通项公式an=n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．