2020版高考数学一轮复习课后限时集训29《等差数列及其前n项和》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(二十九)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若前10项的和S10=60，且a7=7，则a4=(　　)

A．4　　　　B．－4　　　　C．5　　　　D．－5

C　[法一：由题意得解得∴a4=a1＋3d=5，故选C．

法二：由等差数列的性质有a1＋a10=a7＋a4，∵S10==60，∴a1＋a10=12.又∵a7=7，∴a4=5，故选C．]

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12=24，则S13=(　　)

A．52 B．78

C．104 D．208

C　[由a2＋a7＋a12=24得3a7=24，

即a7=8，

∴S13==13a7=13×8=104，故选C．]

3．在数列{an}中，若a1=1，a2=，=＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)

A．an= B．an=

C．an= D．an=

A　[由已知式=＋可得－=－，知是首项为=1，公差为－=2－1=1的等差数列，所以=n，即an=.]

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1=－2，Sm=0，Sm＋1=3，m≥2，m∈N*，则m=(　　)

A．3 B．4

C．5 D．6

C　[∵{an}是等差数列，Sm－1=－2，Sm=0，∴am=Sm－Sm－1=2.

又Sm＋1=3，∴am＋1=Sm＋1－Sm=3，∴d=am＋1－am=1.

又 Sm===0，

∴a1=－2，∴am=－2＋(m－1)·1=2，∴m=5.]

5．(2019·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为(　　)

A．6斤 B．9斤

C．9.5斤 D．12斤

A　[依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1=4，则a5=2，由等差数列的性质得a2＋a4=a1＋a5=6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A．]

二、填空题

6．在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k=________.

22　[ak=a1＋(k－1)d=(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7=7a4=7a1＋21d=21d，所以k－1=21，得k=22.]

7．在等差数列{an}中，公差d=，前100项的和S100=45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99=________.

10　[a2＋a4＋a6＋…＋a100=(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100=45得a1＋a3＋a5＋…＋a99=10.]

8．(2019·青岛模拟)若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则=________.

　[由题意得a1－a2=，b1－b2=，所以=.]

三、解答题

9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk=110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项bn=，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

[解]　(1)设该等差数列为{an}，则a1=a，a2=4，a3=3a，

由已知有a＋3a=8，得a1=a=2，公差d=4－2=2，

所以Sk=ka1＋·d=2k＋×2=k2＋k.

由Sk=110，得k2＋k－110=0，

解得k=10或k=－11(舍去)，故a=2，k=10.

(2)证明：由(1)得Sn==n(n＋1)，

则bn==n＋1，

故bn＋1－bn=(n＋2)－(n＋1)=1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn==.

10．(2019·长春模拟)已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

[解]　(1)设{an}的公差为d.由题意，得

a=a1a13，

即(a1＋10d)2=a1(a1＋12d)．

于是d(2a1＋25d)=0.

又a1=25，所以d=0(舍去)或d=－2.

故an=－2n＋27.

(2)令Sn=a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

由(1)知a3n－2=－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

从而Sn=(a1＋a3n－2)

=(－6n＋56)

=－3n2＋28n.

B组　能力提升

1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)

A．公差为3的等差数列　　　B．公差为4的等差数列

C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列

C　[an=n＋a1－1，

∴a2n－1=2n＋a1－2，a2n=2n＋a1－1，

∴a2n－1＋2a2n=6n＋3a1－4.

因此数列{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列，故选C．]

2．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？(　　)

A．9日 B．8日

C．16日 D．12日

A　[根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1=103，公差d1=13的等差数列，前n天共跑的里程为S=na1＋d1=103n＋n(n－1)=6.5n2＋96.5n；驽马每日行程也构成一个首项b1=97，公差d2=－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S=nb1＋d2=97n－n(n－1)=－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，则有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n=1 125×2，解得n=9，即它们第9天相遇，故选A．]

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1=－2，Sm=0，Sm＋1=3，则正整数m的值为________．

5　[由题意知am=Sm－Sm－1=2，am＋1=Sm＋1－Sm=3，则公差d=am＋1－am=1.

由Sm=0得=0，解得a1=－am=－2，

则am=－2＋(m－1)×1=2，解得m=5.]

4．(2019·武汉模拟)已知数列{an}满足a1=2，n(an＋1－n－1)=(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．

(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；

(2)设bn=－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.

[解]　(1)证明：∵n(an＋1－n－1)=(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，

∴nan＋1－(n＋1)an=2n(n＋1)，∴－=2，

∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2，

∴=2＋2(n－1)=2n.

(2)由(1)知an=2n2，∴bn=－15=2n－15，

则数列{bn}的前n项和Sn==n2－14n.

令bn=2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7.

∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn=－b1－b2－…－bn=－Sn=－n2＋14n.

n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn=－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn=－2S7＋Sn=－2×(72－14×7)＋n2－14n=n2－14n＋98.

∴Tn=