2020版高考数学一轮复习课后限时集训34《二元一次不等式组与简单的线性规划问题》文数（含解析）北师大版

课后限时集训(三十四)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(　　)

A　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D

C　[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或与选项C符合．故选C．]

2．已知实数x，y满足则z=3x－y的最小值为(　　)

A．－1　　　　B．1　　　　C．3　　　　D．2

C　[如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z=3x－y的几何意义是直线3x－y－z=0在y轴上截距的相反数，故当直线在y轴上截距取得最大值时，目标函数z取得最小值．

由图可知，目标函数对应直线经过点A时，z取得最小值．由解得A(1,0)．

故z的最小值为3×1－0=3.故选C．]

3．(2019·泰安模拟)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)

A．4 B．9

C．10 D．12

C　[作出不等式组表示的

平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max=|OA|2=32＋(－1)2=10.

故选C．]

4．(2019·衡阳模拟)若x，y满足且z=3x－y的最大值为2，则实数m的值为(　　)

A． B．

C．1 D．2

D　[由选项得m＞0，作出不等式组

表示的平面区域，如图中阴影部分．

因为z=3x－y，所以y=3x－z，当直线y=3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2.

由得A(2,4)，代入直线mx－y=0得2m－4=0，所以m=2.]

5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

A．12万元 B．16万元

C．17万元 D．18万元

D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有目标函数z=3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：

可得目标函数在点A处取到最大值．

由得A(2,3)．

则zmax=3×2＋4×3=18(万元)．]

二、填空题

6．(2017·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z=3x－4y的最小值为________．

－1　[不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

由z=3x－4y得y=x－z.

平移直线y=x，易知经过点A时，z有最小值．

由得∴A(1,1)．

∴zmin=3－4=－1.]

7．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．

5　[作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，

设z=(x－2)2＋y2，

则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，

由图知C，D间的距离最小，此时z最小．

由得即C(0,1)，

此时zmin=(x－2)2＋y2=4＋1=5.]

8．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为________．

－　[作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0,1)，B(1,0)，C(3,4)．

目标函数z=表示过点Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC平面区域内．

显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为=－.]

三、解答题

9．如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．

(1)写出表示区域D的不等式组；

(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a=0的异侧，求a的取值范围．

[解]　(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23=0，x＋7y－11=0,4x＋y＋10=0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为

(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，

解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18,14)．

10．若x，y满足约束条件

(1)求目标函数z=x－y＋的最值；

(2)若目标函数z=ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．

[解]　(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．

平移初始直线x－y＋=0，过A(3,4)时z取最小值－2，过C(1,0)时z取最大值1.

所以z的最大值为1，最小值为－2.

(2)直线ax＋2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.

故a的取值范围是(－4,2)．

B组　能力提升

1．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)

A．　　　　B.　　　　C．　　　　D.

B　[根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1=0和x－y－1=0，由两平行线间的距离公式得距离为=，故选B.]

2．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)

A．－3 B．1

C． D．3

B　[作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，，D(－2m,0)．

S△ABC=S△ADB－S△ADC=|AD|·|yB－yC|=(2＋2m)·=(1＋m)=，解得m=1或m=－3(舍去)．]

3．已知实数x，y满足设b=x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为__________．

10　[画出可行域，如图阴影部分所示．由b=x－2y，得y=x－.易知在点(a，a)处b取最小值，故a－2a=－2，可得a=2.在点(2，－4)处b取最大值，于是b的最大值为2＋8=10.]

4．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．

[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．

(2)设利润为z万元，则目标函数为z=2x＋3y.

考虑z=2x＋3y，将它变形为y=－x＋，它的图像是斜率为－，随z变化的一组平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z=2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得点M的坐标为(20,24)，

所以zmax=2×20＋3×24=112.

即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．