1-3-6 公式运用.教师版（教案）

 一、常用公式；；；；等比数列求和公式：()；平方差公式：；完全平方公式：，；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的倍，两条公式也可以合写在一起：．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，倍乘积在中央”．二、常用技巧；；，，，   ，，；，其中． 一、前项和【例 1】           【考点】公式法之求和公式           【难度】2星          【题型】计算【解析】       【答案】 【巩固】       【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】计算【解析】       原式【答案】 【例 2】           计算：【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】计算【解析】       原式             【答案】 【例 3】           计算：【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】计算【解析】       原式 【答案】 【巩固】       计算：___________．【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】填空【解析】       与公式相比，缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．原式【答案】 【例 4】           计算：【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】填空【解析】       原式【答案】 【例 5】           计算：        。【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】填空【关键词】西城实验【解析】       原式                    其中也可以直接根据公式得出【答案】 【例 6】           计算：【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】计算【解析】       分拆 ()，()再用公式原式        【答案】 【例 7】           对自然数和，规定，例如，那么：⑴ ______________；⑵ ______________．【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】填空【解析】       ⑴ 原式⑵ 原式【答案】⑴             ⑵ 【巩固】       看规律 ，，……，试求【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】计算【关键词】人大附中【解析】       原式 【答案】 【例 8】           计算： 【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】计算【解析】       法一：利用等比数列求和公式。原式法二：错位相减法．设则，，整理可得．法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，，则运用“借来还去”的方法可得到，    整理得到．【答案】 【例 9】           计算的值。（已知，，，，，，，）【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】计算【解析】       注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数的指数减少，的指数增加.所以每一个加数是前一个加数的倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为的等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。
记,   ，那么，即原式的值为.【答案】 【例 10】               ．【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】填空【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营【解析】       原式【答案】 【解析】       计算：        ．【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】填空【解析】       原式【答案】 【解析】       【考点】公式法之求和公式           【难度】3星          【题型】填空【解析】 原式【答案】 【例 11】       计算：【考点】公式法之求和公式           【难度】4星          【题型】计算【解析】       设算式的值为，那么，　　　　，　　　　即，故，则，所以，．【答案】二、平方差与完全平方公式【例 12】       ⑴________；        ⑵________．【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】2星          【题型】填空【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营【解析】       ⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设，原式⑵ 原式【答案】⑴                    ⑵ 【巩固】                    【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】2星          【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】       方法一：原式                                                方法二：原式【答案】 【巩固】                     【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】2星          【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】       原式【答案】 【巩固】       计算：＝     。【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】3星          【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】       题目分析：答案为100000。记原式为X，则10X=314×314+628×686+686×686=3142+2×314×686+6862=(314+686)2=1000000，所以，X=100000。【答案】 【例 13】       有一串数，，，，，……它们是按一定规律排列的，那么其中第个数与第个数相差多少？【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】2星          【题型】填空【解析】       这串数中第个数是，而第个数是，它们相差【答案】 【巩固】       代表任意数字，若，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧． ⑴  　 ⑵　　　⑶  　 ⑷【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】2星          【题型】计算【解析】       这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式来进行下面的计算:⑴⑵⑶⑷【答案】⑴           ⑵          ⑶          ⑷ 【例 14】       计算：         ．【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】3星          【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级组，决赛【解析】       本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式． 原式          其中可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 进行计算．【答案】 【例 15】                ．【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式           【难度】2星          【题型】填空【关键词】迎春杯，初赛【解析】       原式 【答案】 三、公式综合运用【例 16】       计算：        ．【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】填空【关键词】仁华学校【解析】       观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，……，99，乘数依次为4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为，乘数可以表示为，所以通项公式为．所以，原式另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算．原式而和都是我们非常熟悉的．，，所以原式小结：从上面的计算过程中可以看出，，而，所以有【答案】 【例 17】       计算：        ．【考点】公式法之综合运用           【难度】4星          【题型】填空【解析】       ，所以，，所以原式【答案】 【例 18】       计算：【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】计算【关键词】北京二中，入学测试【解析】       原式【答案】 【巩固】       计算【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】计算【解析】       这个题目重新整理得：【答案】 【巩固】       计算：．【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】计算【解析】       做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：，，，．于是，原式【答案】 【例 19】       【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】计算【解析】       原式【答案】 【例 20】       计算：        ．【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】填空【解析】       原式【答案】 【巩固】       计算：          ．【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】填空【解析】       观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式       【答案】 【巩固】       【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级【解析】       原式                              【答案】 【例 21】       计算：【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】计算【解析】       原式【答案】 【巩固】       计算：        ．【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】填空【解析】       原式【答案】 【例 22】       计算：【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】计算【解析】       原式            【答案】 【例 23】       计算：【考点】公式法之综合运用           【难度】3星          【题型】计算【解析】       原式【答案】