1-3-1 定义新运算.教师版（教案）


定义新运算


教学目标

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨

一 定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二 定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合

例题精讲

模块一、直接运算型
【例 1】 若表示，求的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312
【答案】

【巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】

【巩固】 设△，那么，5△______，(5△2) △_____.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】
,
【答案】

【巩固】 、表示数，表示，求3(68)
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】
【答案】

【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,,那么
.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】

【巩固】 表示
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 原式
【答案】

【巩固】 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】

【例 11】 定义新运算为，⑴求的值；⑵若则x的值为多少？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ⑴因为，所以
⑵，，所以x的值为4.4.
【答案】⑴ ⑵

【巩固】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.如果，那么等于几？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 方法一：由题中所给定义可知，为多少，则就有多少个乘数．，即：602，则；，即33,所以．
方法二：可以先将（x3）看作一个整体，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，，即33，所以．
【答案】

【例 12】 定义为与之间（包含、）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，．在算术的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 ，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是．因此所填的数可能是100和101．
【答案】和

【巩固】 如有#新运算，#表示、中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，则可以是________（小于50）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算
【关键词】101中学，入学测试
【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.
第一步先把（21#）看成一个整体.对于21#5，这个式子，一方面可把21作被除数，则等 于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，
这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由所 代表的式子（21#）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.现在只剩下8，与16.
第二步求：（21#）8与（21#）16.对于（21#）8可分别解得，把21作被除数时：13， 把21作除数时为：29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.
对于（21#）16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：37，58……所有形如21N+16 这样的整数.（N是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37．
【答案】13,29,37．

【例 13】 已知、满足，；其中表示不大于的最大整数，表示 的小数部分，即，那么 。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，第3题
【解析】 根据题意，是整数，所以也是整数，那么，由此可得，所以，。
【答案】

【例 14】 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为 ．（8级）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。
1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；
3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.
所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种；
7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种；
8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；

9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45

模块三、观察规律型
【例 15】 如果 1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算 （3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】

【巩固】 规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
【答案】

【例 16】 有一个数学运算符号，使下列算式成立：
，，，，求
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 通过对，，，这几个算式的观察，找到规律： ，因此
【答案】

【巩固】 规定△, 计算：（2△1）（11△10）______.
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义．
a△b就变成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，则原式＋＋＋…＋．
这里需要补充一个公式：．
【答案】

【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为，例如，．
；＝ ．
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，5年级，决赛
【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。
所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】

模块四、综合型题目
【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2， △，根据这几个算式找规律，如果
△=1，那么= .
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，五年级，决赛
【解析】 规律是 a△b=(a－b)×2, 所以 △x=，即
【答案】

【例 19】 如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即
⑴；⑵。
现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足：
。
例：
请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”满足交换律
[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47)
(2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69)
所以“*”不满足结合律
【答案】 “*”满足交换律
“*”不满足结合律

【例 20】 用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。例如：记，请计算的值。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1

【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图A表示：2+3， B表示2+3×2－1。图C中表示的式子的运算结果是________ 。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】

【例 22】 表示成;表示成.
试求下列的值:
(1)
(2)
(3);
(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1);
(2);
(3)因为,所以;
(4)略
【答案】(1) (2)81 (3)
(4) 令则.
.

【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 由题设的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得 , 所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy. 由1※2=3,2※3=4,得
解得a=5,c=1. 所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.
【答案】

【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，
l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，
通过（2*3）△4=64求出 k的值.
因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
　 　，（舍去）
①当m=1，n=2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
有36k=64，解出，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n=1，这组值应舍去。
所以m=l，n=2，k=2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3　=1×4+2×3=10.
【答案】

【例 24】 对于任意的两个自然数和，规定新运算： ，其中、表示自然数.⑴求1100的值；⑵已知1075，求为多少？⑶如果（3）2121，那么等于几？
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ⑴1100
⑵x1075,解得x3
⑶方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数．，即：602121，则x360；，即19360,所以x19．
方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2, 所以y60，那么也就有x360，，即19360，所以x19．
【答案】

【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8级）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x