2020届高考数学一轮复习单元检测02《函数概念与基本初等函数Ⅰ》提升卷单元检测 文数（含解析）

单元检测二　函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．(－∞，2]   B．(0，1)∪(1，2]

C．(0，2]   D．(0，2)

答案　B

解析　要使函数f(x)有意义，则

解得0<x≤2且x≠1.

2．(2019·哈尔滨师大附中模拟)与函数y＝x相同的函数是(　　)

A．y＝ B．y＝

C．y＝()2 D．y＝logaax(a>0且a≠1)

答案　D

解析　A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数．

3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是(　　)

A．y＝－ B．y＝x

C．y＝x3 D．y＝log2x

答案　C

解析　y＝－在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y＝x在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；y＝x3在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y＝log2x在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．

4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝x2－x4 B．f(x)＝x－x2

C．f(x)＝x2－x4(x≥0)   D．f(x)＝－x(x≥0)

答案　C

解析　因为f()＝()2－()4，

所以f(x)＝x2－x4(x≥0)．

5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f(x)＝4x2－mx＋5，对称轴x＝－2，则f(1)的值为(　　)

A．－7B．17C．1D．25

答案　D

解析　函数f(x)＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为x＝－2，

可得＝－2，解得m＝－16，所以f(x)＝4x2＋16x＋5.

则f(1)＝4＋16＋5＝25.

6．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则(　　)

A．a>b>c B．b>a>c

C．c>a>b D．b>c>a

答案　A

解析　因为0<0.3<1，e>1，

所以c＝log0.3e<0，

由于0.3>0，所以a＝30.3>1，

由1<3<π，得0<b＝logπ3<1，

所以a>b>c.

7．已知f(x＋1)＝－ln，则函数f(x)的图象大致为(　　)

答案　A

解析　由题意得f(x＋1)＝－ln

＝－ln，

所以f(x)＝－ln＝ln.

由>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B.

因为f(－x)＝ln＝ln

＝－ln＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数，排除C.

又f(3)＝ln<0，故排除D.

8．已知函数f(x)＝－x2＋4x，当x∈[m，5]时，f(x)的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－1，2]

C．[－1，2] D．[2，5]

答案　C

解析　f(x)＝－(x－2)2＋4，

所以当x＝2时，f(2)＝4.

由f(x)＝－5，解得x＝5或x＝－1.

所以要使函数f(x)在区间[m，5]上的值域是[－5，4]，

则－1≤m≤2.

9．(2018·南昌模拟)已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足f(3x＋1)<f的实数x的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

解析　由函数f(x)的图象关于y轴对称，

且f(x)在(－∞，0]上单调递减，

得f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又f(3x＋1)<f，

所以|3x＋1|<，

解得－<x<－.

10．(2018·孝感模拟)设f(x)＝且f(1)＝6，则f(f(－2))的值为(　　)

A．12B．18C.D.

答案　A

解析　∵f(x)＝

∴f(1)＝2(t＋1)＝6，解得t＝2.

∴f(－2)＝log3(4＋2)＝log36，f(f(－2))＝12.

11.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是(　　)

答案　D

解析　根据题意可得到

y＝f(x)＝

由二次函数和一次函数的图象可知f(x)的图象只能是D.

12．定义在R上的函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且f(x＋1)是偶函数．若当x∈[0，1]时，f(x)＝sinx，则函数y＝f(x)与y＝e－|x|的图象在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为(　　)

A．2019B．2020C．4038D．4040

答案　D

解析　因为函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，

所以函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝0，

故y＝f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)．

又f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)．

故f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，

所以函数f(x)是周期为2的偶函数．

又当x∈[0，1]时，f(x)＝sinx，

作出y＝f(x)与y＝|x|的图象，如图所示．

结合图象可知在每个周期内，两函数的图象有2个交点，

所以在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为2020×2＝4040.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．幂函数f(x)＝(m2－m－1)在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m的值为______．

答案　2

解析　根据题意得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.

因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)为增函数，

所以当m＝2时，m2＋2m－3＝5，幂函数为f(x)＝x5，满足题意；

当m＝－1时，m2＋2m－3＝－4，幂函数为f(x)＝x－4，不满足题意．

综上，m＝2.

14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0≤x<1时，f(x)＝2x＋a，f(1)＝0，则f(－3)＋f(14－log27)＝________.

答案　－

解析　易知f(－3)＝f(1)＝0，

由f(x)是奇函数，知f(0)＝0，

所以20＋a＝0，所以a＝－1.

因为log27＝2＋log2，

所以f(14－log27)＝f＝－f

＝－＝－，

则f(－3)＋f(14－log27)＝0－＝－.

15．已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　如图，

要使函数f(x)的图象和x轴有三个交点，

则解得<a≤1.

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域是________．

答案　{－1，0}

解析　因为f(x)＝，

则f(－x)＝＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

因为函数f(x)＝－＝－，

又ex＋1>1，所以0<<1，

故－<－<.

当f(x)∈时，[f(x)]＝－1，[f(－x)]＝0；

当f(x)∈时，[f(x)]＝0，[f(－x)]＝－1；

当f(x)＝0时，[f(x)]＝0，[f(－x)]＝0.

所以函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1，0}．

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)．

(1)求常数a的值；

(2)若g(x)＝4－x－2，且存在x，使g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

解　(1)由已知得－a＝2，解得a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝x，

因为存在x，使g(x)＝f(x)，

所以4－x－2＝x，

即x－x－2＝0，

即2－x－2＝0有解，

令x＝t(t>0)，则t2－t－2＝0，

即(t－2)(t＋1)＝0，

解得t＝2，即x＝2，解得x＝－1，

故满足条件的x的值为－1.

18．(12分)已知函数f(x)＝，x∈(－2，2)．

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)解不等式 [f(－2m＋3)]> [f(m2)]．

解　(1)任取x1，x2∈(－2，2)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝.

∵x1<x2，∴x2－x1>0，

又x1，x2∈(－2，2)，

∴x1＋2>0，x2＋2>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

∴函数f(x)＝，x∈(－2，2)为减函数．

(2)由(1)知函数f(x)在(－2，2)上为减函数，

易知f(x)>0，

∴[f(－2m＋3)]>[f(m2)]等价于f(－2m＋3)<f(m2)，

∴解得<m<1.

故所求不等式的解集为.

19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．

(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)

解　(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，

则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50

＝－x2＋20x－50(0<x≤10，x∈N*)．

由－x2＋20x－50>0，可得10－5<x<10＋5.

又2<10－5<3，

故大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出．

(2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出，

∴二手车出售后，小张的年平均利润为＝＝19－≤19－2＝19－10＝9，

当且仅当x＝5时，等号成立．

∴小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．

20．(13分)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)－x.

(1)若函数y＝f(x)－x－a没有零点，求实数a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝2f(x)＋x＋m·2x－1，x∈[0，log23]的最小值为0，求实数m的值．

解　(1)函数y＝f(x)－x－a没有零点，

即关于x的方程log2(4x＋1)－2x＝a无实数根．

令g(x)＝log2(4x＋1)－2x，

则函数y＝g(x)的图象与直线y＝a无交点．

因为g(x)＝log2(4x＋1)－2x＝log2(4x＋1)－log24x

＝log2＝log2，

又1＋>1，

所以g(x)＝log2>0.

所以实数a的取值范围是(－∞，0]．

(2)由题意得h(x)＝4x＋m·2x，x∈[0，log23]．

令t＝2x∈[1，3]，则φ(t)＝t2＋mt，t∈[1，3]．

①当－≤1，即m≥－2时，

φ(t)min＝φ(1)＝1＋m＝0，解得m＝－1；

②当1<－<3，即－6<m<－2时，

φ(t)min＝φ＝－＝0，

解得m＝0(舍去)．

③当－≥3，即m≤－6时，

φ(t)min＝φ(3)＝9＋3m＝0，解得m＝－3(舍去)，

综上可知，实数m的值为－1.