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    数学九年级上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质精品课时练习

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    这是一份数学九年级上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质精品课时练习,共12页。

    第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 [见A本P18]





    1.在平面直角坐标系中,下列函数的图象经过原点的是( C )


    A.y=-x+3 B.y=eq \f(5,x)


    C.y=2x D.y=-2x2+x-7


    2.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( A )


    A.(3,-4) B.(3,4)


    C.(-3,-4) D.(-3,4)


    【解析】 ∵y=x2-6x+5=x2-6x+9-9+5=(x-3)2-4,∴抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标是(3,-4).故选A.


    3.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( A )


    A.x<1 B.x>1


    C.x<-1 D.x>-1


    【解析】 ∵a=-1<0,


    ∴二次函数图象开口向下,


    又对称轴是x=1,


    ∴当x<1时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大.


    故选A.


    4.关于y=-eq \f(1,2)x2+3x-eq \f(5,2)的图象,下列说法不正确的是( B )


    A.开口向下


    B.对称轴是x=-3


    C.顶点坐标是(3,2)


    D.顶点是抛物线的最高点


    【解析】 a=-eq \f(1,2)<0,开口向下,故A正确;对称轴为x=-eq \f(b,2a)=-eq \f(3,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2))))=3,故B不正确;当x=3时,y最大值=-eq \f(1,2)×32+3×3-eq \f(5,2)=2,故顶点坐标为(3,2),C正确;D正确.


    5.下列关于二次函数的说法错误的是( B )


    A.抛物线y=-2x2+3x+1的对称轴是x=eq \f(3,4)


    B.点A(3,0)不在抛物线y=x2-2x-3的图象上


    C.二次函数y=(x+2)2-2的顶点坐标是(-2,-2)


    D.二次函数y=2x2+4x-3的图象的最低点是(-1,-5)


    6.在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( D )


    A.(-2,3) B.(-1,4)


    C.(1,4) D.(4,3)


    7.抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=x2-2x-3,则b,c的值为( B )


    A.b=2,c=2


    B.b=2,c=0


    C.b=-2,c=-1


    D.b=-3,c=2


    【解析】 把抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y=x2+bx+c,所以y=(x-1)2-4变为y=(x-1+2)2-4+3,即y=(x+1)2-1=x2+2x,所以b=2,c=0,选B.


    8.[2013·襄阳]二次函数的图形如图22-1-25所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1




    图22-1-25


    A.y1≤y2 B.y1

    C.y1≥y2 D.y1>y2


    【解析】 ∵a<0,x1<x2<1,


    ∴y随x的增大而增大


    ∴y1<y2.


    故选B.


    9.已知下列函数:①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号).


    【解析】 原式可化为y=(x+1)2-4,由函数图象平移的法则可知,将函数y=x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移4个单位即可得到函数y=(x+1)2-4,的图象,故①正确;函数y=(x+1)2-4的图象开口向上,函数y=-x2的图象开口向下,故不能通过平移得到,故②错误;将y=(x-1)2+2的图象向左平移2个单位,再向下平移6个单位即可得到函数y=(x+1)2-4的图象,故③正确.


    10.用配方法将二次函数y=-eq \f(1,2)x2-x+eq \f(3,2)化成y=a(x-h)2+k的形式为__y=-eq \f(1,2)(x+1)2+2__;它的开口向__下__,对称轴是__x=-1__,顶点坐标是__(-1,2)__.


    【解析】 y=-eq \f(1,2)x2-x+eq \f(3,2)=-eq \f(1,2)(x2+2x-3)=-eq \f(1,2)[(x+1)2-4]=-eq \f(1,2)(x+1)2+2.a=-eq \f(1,2)<0,它的图象开口向下,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,2).


    11.y=2x2-bx+3的对称轴是x=1,则b的值为__4__.


    【解析】 由对称轴公式得-eq \f(-b,2×2) =1,解得b=4.


    12.写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x为何值时,y值最大(小).


    (1)y=-2x2-8x+8;


    (2)y=5x2+6x+7;


    (3)y=3x2-4x;


    (4)y=-2x2+5.


    解:(1)y=-2(x2+4x-4)


    =-2(x2+4x+4-8)


    =-2(x+2)2+16.


    a=-2<0,抛物线开口向下,对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2,16).当x=-2时,y有最大值.


    (2)∵a=5,b=6,c=7,


    ∴-eq \f(b,2a)=-eq \f(6,2×5)=-0.6,


    eq \f(4ac-b2,4a)=eq \f(4×5×7-36,4×5)=eq \f(140-36,20)=eq \f(104,20)=5.2.


    抛物线开口向上,对称轴为x=-0.6,顶点坐标为(-0.6,5.2).当x=-0.6时,y有最小值.


    (3)y=3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(4,3)x))=3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(4,3)x+\f(4,9)-\f(4,9)))


    =3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(2,3)))eq \s\up12(2)-eq \f(4,3).


    抛物线开口向上,对称轴为x=eq \f(2,3),顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3),-\f(4,3))).当x=eq \f(2,3)时,y有最小值.


    (4)抛物线开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,5),当x=0时,y有最大值.





    13.已知二次函数y=-eq \f(1,2)x2-7x+eq \f(15,2),若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是( A )


    A.y1>y2>y3


    B.y1<y2<y3


    C.y2>y3>y1


    D.y2<y3<y1


    【解析】 ∵二次函数y=-eq \f(1,2)x2-7x+eq \f(15,2)的对称轴为x=-eq \f(b,2a)=-eq \f(-7,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2))))=-7.


    ∵0<x1<x2<x3,


    ∴三点都在对称轴右侧,又∵a<0,在对称轴右侧y随x的增大而减小,


    ∴y1>y2>y3.


    14.若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为( C )


    A.直线x=1 B.直线x=-2


    C.直线x=-1 D.直线x=-4


    【解析】 ∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),


    ∴-2a+b=0,即b=2a,


    ∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-eq \f(b,2a)=-1.故选C.


    15.已知抛物线y=-x2+2x+2.


    (1)该抛物线的对称轴是________,顶点坐标是________;


    (2)选取适当的数据填入下表,并在图22-1-26的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;


    (3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.





    图22-1-26


    解:(1)x=1,(1,3);


    (2)填表如下:





    抛物线的图象如图所示.





    (3)因为在对称轴x=1的右侧,y随x的增大而减小,又x1>x2>1,所以y1<y2.





    图22-1-27


    16.如图22-1-27,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,二次函数y=-eq \f(2,3)x2+bx+c的图象经过B,C两点.


    (1)求该二次函数的解析式;


    (2)结合函数的图象探索:当y>0时x的取值范围.


    解:(1)由题意,得C(0,2),B(2,2),


    ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c=2,,-\f(2,3)×4+2b+c=2,))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b=\f(4,3),,c=2,))


    ∴该二次函数的解析式为y=-eq \f(2,3)x2+eq \f(4,3)x+2.


    (2)令-eq \f(2,3)x2+eq \f(4,3)x+2=0,得x1=-1,x2=3,


    ∴当y>0时,-1




    图22-1-28


    17.如图22-1-28,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.


    (1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;


    (2)若点M是抛物线对称轴上一点,求AM+OM的最小值.


    解:(1)把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点代入y=ax2+bx+c中,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a-2b+c=-4,,c=0,,4a+2b+c=0,))


    解这个方程组,得a=-eq \f(1,2),b=1,c=0,


    所以抛物线解析式为y=-eq \f(1,2)x2+x.





    (2)如图,由y=-eq \f(1,2)x2+x=-eq \f(1,2)(x-1)2+eq \f(1,2),可得抛物线的对称轴为x=1,并且对称垂直平分线段OB,


    所以OM=BM,OM+AM=BM+AM.


    连接AB交直线x=1于M,则此时OM+AM最小.


    过A点作AN⊥x轴于点N,


    在Rt△ABN中,AB=eq \r(AN2+BN2)=eq \r(42+42)=4eq \r(2),因此AM+OM的最小值为4eq \r(2).





    18.在平面直角坐标系中,如图(1),将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B,C.


    (1)当n=1时,如果a=-1,试求b的值;


    (2)当n=2时,如图(2),在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式.





    (1) (2)


    图22-1-29


    解:(1)由题意可知,抛物线的对称轴为直线x=eq \f(1,2),∴-eq \f(b,2a)=eq \f(1,2),解得b=1;(2)因为抛物线过C(0,1),所以c=1,故可设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+1,


    由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2)),


    ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1=4a+2b+1,,2=\f(1,4)a+\f(1,2)b+1,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-\f(4,3),,b=\f(8,3),))


    ∴所求抛物线的解析式为y=-eq \f(4,3)x2+eq \f(8,3)x+1.





    第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式


    [见B本P18]








    1.过(-1,0),(3,0),(1,2)三点的抛物线的顶点坐标为( A )


    A.(1,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(2,3)))


    C.(-1,5) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(14,3)))


    【解析】 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则


    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a-b+c=0,,9a+3b+c=0,,a+b+c=2,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-\f(1,2),,b=1,,c=\f(3,2),))


    ∴y=-eq \f(1,2)x2+x+eq \f(3,2)=-eq \f(1,2)(x2-2x-3)


    =-eq \f(1,2)[(x2-2x+1)-4]=-eq \f(1,2)[(x-1)2-4]


    =-eq \f(1,2)(x-1)2+2,顶点为(1,2).故选A.


    2.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:


    则该函数图象的顶点坐标为( B )


    A.(-3,-3) B.(-2,-2)


    C.(-1,-3) D.(0,-6)


    【解析】 ∵x=-3和-1时的函数值都是-3相等,


    ∴二次函数的对称轴为直线x=-2,


    ∴顶点坐标为(-2,-2).


    故选B.





    3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(-1,0),(3,0),其形状与抛物线y=-2x2相同,则抛物线的解析式为( D )


    A.y=-2x2-x+3


    B.y=-2x2+4x+5


    C.y=-2x2+4x+8


    D.y=-2x2+4x+6


    【解析】 依题意,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-2,,a-b+c=0,,9a+3b+c=0,))


    解得a=-2,b=4,c=6,


    ∴y=-2x2+4x+6,故选D.


    4.抛物线的形状、开口方向与y=eq \f(1,2)x2-4x+3相同,顶点为(-2,1),则该抛物线的解析式为( C )


    A.y=eq \f(1,2)(x-2)2+1 B.y=eq \f(1,2)(x-2)2-1


    C.y=eq \f(1,2)(x+2)2+1 D.y=eq \f(1,2)(x+2)2-1


    【解析】 依题意得a=eq \f(1,2),可得该抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)(x+2)2+1,故选C.


    5.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=__-4__,c=__0__.


    【解析】 依题意得y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x,所以b=-4,c=0.


    6.已知点A(1,2),B(-2,5),试写出一个二次函数,使它的图象经过A,B两点,则此二次函数可为__y=x2+1(答案不唯一)__.


    【解析】 设y=ax2+bx+c(a≠0),


    则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a+b+c=2,,4a-2b+c=5,))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b+c=2-a,,-2b+c=5-4a,))


    解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b=a-1,,c=3-2a,))∴y=ax2+(a-1)x+3-2a.


    取a≠0的数即可,如当a=1时,y=x2+1.


    7.如图22-1-30,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,-2),该图象与x轴的另一个交点为C,则AC长为__3__.


    【解析】 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1-b+c=0,,1+b+c=-2,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b=-1,,c=-2,))所以y=x2-x-2,令x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,所以AC长为3.





    图22-1-30





    图22-1-31


    8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-1-31所示.


    (1)这个二次函数的解析式是__y=x2-2x__;


    (2)当x=__3或-1__时,y=3.


    【解析】 (1)由抛物线过点(0,0),(1,-1),(2,0),


    则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c=0,,a+b+c=-1,,4a+2b+c=0,))解得a=1,b=-2,c=0,∴y=x2-2x.


    (2)当x2-2x=3时,解得x1=3,x2=-1,


    所以当x=3或-1时,y=3.


    9.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:


    从上表可知,下列说法中正确的是__①③④__.(填写序号)


    ①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);


    ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;


    ③抛物线的对称轴是x=eq \f(1,2);


    ④在对称轴左侧,y随x的增大而增大.


    【解析】 从表中取出三个点代入y=ax2+bx+c,求出函数解析式,进行判断.


    10.已知抛物线的顶点为(1,-1),且过点(2,1),求这个函数的解析式.


    解:设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-1,


    把点(2,1)代入解析式得:a-1=1,


    解得a=2,


    ∴这个函数的解析式为y=2(x-1)2-1.


    11.根据下列条件,求二次函数的解析式:


    (1)图象的顶点为(2,3),且过点(3,1);


    (2)图象经过点(1,-2),(0,-1),(-2,-11).


    解:(1)设函数的解析式是y=a(x-2)2+3,代入点(3,1)得:a=-2,


    则函数的解析式是:y=-2(x-2)2+3;


    (2)设函数的解析式是y=ax2+bx+c.根据题意得:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a+b+c=-2,,c=-1,,4a-2b+c=-11,))


    解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-2,,b=1,,c=-1,))


    则函数的解析式是:y=-2x2+x-1.


    12.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线对应的解析式及顶点坐标.


    解:根据题意,得:


    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\f(b,2a)=2,,a+b+c=4,,25a+5b+c=0,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-\f(1,2),,b=2,,c=\f(5,2),))


    ∴此抛物线对应的解析式y=-eq \f(1,2)x2+2x+eq \f(5,2),


    即y=-eq \f(1,2)(x-2)2+eq \f(5,2),∴顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(5,2))).








    13.当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.


    解:∵当k=1时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k没有最大值;


    当k≠1时,当函数图象开口向下时函数y=(k-1)x2-4x+5-k有最大值,∴k-1<0,解得k<1,


    ∴当k=-1时函数y=(k-1)x2-4x+5-k有最大值,此时函数解析式为y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8,且最大值为8.





    图22-1-32


    14.如图22-1-32,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-1,0),B(2,0)两点,交y轴于点C(0,-2),过点A,C画直线.


    (1)求二次函数的解析式;


    (2)若点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长.


    解:(1)设该二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2),


    将x=0,y=-2代入,得-2=a(0+1)(0-2),


    解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-2),


    即y=x2-x-2.


    (2)设OP=x,则PC=PA=x+1,


    在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2,


    解得x=eq \f(3,2),即OP=eq \f(3,2).





    图22-1-33


    15.如图22-1-33,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,且A点坐标为(-3,0),经过B点的直线交抛物线于点D(-2,-3).


    (1)求抛物线的解析式;


    (2)求直线BD的解析式.


    解:(1)将A(-3,0),D(-2,-3)的坐标代入y=x2+bx+c,得


    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9-3b+c=0,,4-2b+c=-3,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b=2,,c=-3,))


    ∴y=x2+2x-3.


    (2)由x2+2x-3=0,得 x1=-3,x2=1,


    ∴B的坐标是(1,0).


    设直线BD的解析式为y=kx+b,则


    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k+b=0,,-2k+b=-3,)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=1,,b=-1,))


    ∴直线BD的解析式为y=x-1.








    图22-1-34


    16.如图22-1-34,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3).


    (1)求此二次函数的解析式;


    (2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.


    解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),c(0,-3),


    ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1+b+c=0,c=-3))


    解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b=2,c=-3))


    ∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3;


    (2)∵当y=0时,x2+2x-3=0,


    解得:x1=-3,x2=1;


    ∴A(1,0),B(-3,0),


    ∴AB=4,


    设P(m,n),


    ∵△ABP的面积为10,


    ∴eq \f(1,2)AB·|n|=10,


    解得:n=±5,


    当n=5时,m2+2m-3=5,


    解得:m=-4或2,


    ∴点P坐标为(-4,5)或(2,5);


    当n=-5时,m2+2m-3=-5,


    方程无解,


    故点P坐标为(-4,5)或(2,5).








    x
    ……
    y
    ……
    x

    -1
    0
    1
    2
    3

    y

    -1
    2
    3
    2
    -1

    x

    -3
    -2
    -1
    0
    1

    y

    -3
    -2
    -3
    -6
    -11

    x

    -2
    -1
    0
    1
    2

    y

    0
    4
    6
    6
    4

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