数学九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质精品课时练习

这是一份数学九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质精品课时练习，共12页。

第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 [见A本P18]





1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( C )


A．y＝－x＋3 B．y＝eq \f(5,x)


C．y＝2x D．y＝－2x2＋x－7


2．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( A )


A．(3，－4) B．(3，4)


C．(－3，－4) D．(－3，4)


【解析】 ∵y＝x2－6x＋5＝x2－6x＋9－9＋5＝(x－3)2－4，∴抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标是(3，－4)．故选A.


3．在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( A )


A．x<1 B．x>1


C．x<－1 D．x>－1


【解析】 ∵a＝－1＜0，


∴二次函数图象开口向下，


又对称轴是x＝1，


∴当x＜1时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大．


故选A.


4．关于y＝－eq \f(1,2)x2＋3x－eq \f(5,2)的图象，下列说法不正确的是( B )


A．开口向下


B．对称轴是x＝－3


C．顶点坐标是(3，2)


D．顶点是抛物线的最高点


【解析】 a＝－eq \f(1,2)＜0，开口向下，故A正确；对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(3,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝3，故B不正确；当x＝3时，y最大值＝－eq \f(1,2)×32＋3×3－eq \f(5,2)＝2，故顶点坐标为(3，2)，C正确；D正确．


5．下列关于二次函数的说法错误的是( B )


A．抛物线y＝－2x2＋3x＋1的对称轴是x＝eq \f(3,4)


B．点A(3，0)不在抛物线y＝x2－2x－3的图象上


C．二次函数y＝(x＋2)2－2的顶点坐标是(－2，－2)


D．二次函数y＝2x2＋4x－3的图象的最低点是(－1，－5)


6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2－4x＋3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( D )


A．(－2，3) B．(－1，4)


C．(1，4) D．(4，3)


7．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为( B )


A．b＝2，c＝2


B．b＝2，c＝0


C．b＝－2，c＝－1


D．b＝－3，c＝2


【解析】 把抛物线y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y＝x2＋bx＋c，所以y＝(x－1)2－4变为y＝(x－1＋2)2－4＋3，即y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0，选B.


8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25所示：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1




图22－1－25


A．y1≤y2 B．y1

C．y1≥y2 D．y1>y2


【解析】 ∵a＜0，x1＜x2＜1，


∴y随x的增大而增大


∴y1＜y2.


故选B.


9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)．


【解析】 原式可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y＝(x＋1)2－4的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故③正确．


10．用配方法将二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋2__；它的开口向__下__，对称轴是__x＝－1__，顶点坐标是__(－1，2)__．


【解析】 y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)(x2＋2x－3)＝－eq \f(1,2)[(x＋1)2－4]＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋2.a＝－eq \f(1,2)＜0，它的图象开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，2)．


11．y＝2x2－bx＋3的对称轴是x＝1，则b的值为__4__．


【解析】 由对称轴公式得－eq \f(－b,2×2) ＝1，解得b＝4.


12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x为何值时，y值最大(小)．


(1)y＝－2x2－8x＋8;


(2)y＝5x2＋6x＋7；


(3)y＝3x2－4x;


(4)y＝－2x2＋5.


解：(1)y＝－2(x2＋4x－4)


＝－2(x2＋4x＋4－8)


＝－2(x＋2)2＋16.


a＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x＝－2时，y有最大值．


(2)∵a＝5，b＝6，c＝7，


∴－eq \f(b,2a)＝－eq \f(6,2×5)＝－0.6，


eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4×5×7－36,4×5)＝eq \f(140－36,20)＝eq \f(104,20)＝5.2.


抛物线开口向上，对称轴为x＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x＝－0.6时，y有最小值．


(3)y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(4,3)x))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(4,3)x＋\f(4,9)－\f(4,9)))


＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(4,3).


抛物线开口向上，对称轴为x＝eq \f(2,3)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,3))).当x＝eq \f(2,3)时，y有最小值．


(4)抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，5)，当x＝0时，y有最大值．





13．已知二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(15,2)，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( A )


A．y1＞y2＞y3


B．y1＜y2＜y3


C．y2＞y3＞y1


D．y2＜y3＜y1


【解析】 ∵二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(15,2)的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(－7,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－7.


∵0＜x1＜x2＜x3，


∴三点都在对称轴右侧，又∵a＜0，在对称轴右侧y随x的增大而减小，


∴y1＞y2＞y3.


14．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为( C )


A．直线x＝1 B．直线x＝－2


C．直线x＝－1 D．直线x＝－4


【解析】 ∵一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，


∴－2a＋b＝0，即b＝2a，


∴抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝－1.故选C.


15．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.


(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；


(2)选取适当的数据填入下表，并在图22－1－26的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；


(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．





图22－1－26


解：(1)x＝1，(1，3)；


(2)填表如下：





抛物线的图象如图所示．





(3)因为在对称轴x＝1的右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2.





图22－1－27


16．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝－eq \f(2,3)x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．


(1)求该二次函数的解析式；


(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．


解：(1)由题意，得C(0，2)，B(2，2)，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝2，,－\f(2,3)×4＋2b＋c＝2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝\f(4,3)，,c＝2，))


∴该二次函数的解析式为y＝－eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2.


(2)令－eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝3，


∴当y＞0时，－1




图22－1－28


17．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．


(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；


(2)若点M是抛物线对称轴上一点，求AM＋OM的最小值．


解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋c＝－4，,c＝0，,4a＋2b＋c＝0，))


解这个方程组，得a＝－eq \f(1,2)，b＝1，c＝0，


所以抛物线解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋x.





(2)如图，由y＝－eq \f(1,2)x2＋x＝－eq \f(1,2)(x－1)2＋eq \f(1,2)，可得抛物线的对称轴为x＝1，并且对称垂直平分线段OB，


所以OM＝BM，OM＋AM＝BM＋AM.


连接AB交直线x＝1于M，则此时OM＋AM最小．


过A点作AN⊥x轴于点N，


在Rt△ABN中，AB＝eq \r(AN2＋BN2)＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2)，因此AM＋OM的最小值为4eq \r(2).





18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过矩形顶点B，C.


(1)当n＝1时，如果a＝－1，试求b的值；


(2)当n＝2时，如图(2)，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式．





(1) (2)


图22－1－29


解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，∴－eq \f(b,2a)＝eq \f(1,2)，解得b＝1；(2)因为抛物线过C(0，1)，所以c＝1，故可设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋1，


由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝4a＋2b＋1，,2＝\f(1,4)a＋\f(1,2)b＋1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(4,3)，,b＝\f(8,3)，))


∴所求抛物线的解析式为y＝－eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x＋1.





第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式


[见B本P18]








1．过(－1，0)，(3，0)，(1，2)三点的抛物线的顶点坐标为( A )


A．(1，2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2,3)))


C．(－1，5) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(14,3)))


【解析】 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,a＋b＋c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，,c＝\f(3,2)，))


∴y＝－eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)(x2－2x－3)


＝－eq \f(1,2)[(x2－2x＋1)－4]＝－eq \f(1,2)[(x－1)2－4]


＝－eq \f(1,2)(x－1)2＋2，顶点为(1，2)．故选A.


2．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：


则该函数图象的顶点坐标为( B )


A．(－3，－3) B．(－2，－2)


C．(－1，－3) D．(0，－6)


【解析】 ∵x＝－3和－1时的函数值都是－3相等，


∴二次函数的对称轴为直线x＝－2，


∴顶点坐标为(－2，－2)．


故选B.





3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线的解析式为( D )


A．y＝－2x2－x＋3


B．y＝－2x2＋4x＋5


C．y＝－2x2＋4x＋8


D．y＝－2x2＋4x＋6


【解析】 依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，))


解得a＝－2，b＝4，c＝6，


∴y＝－2x2＋4x＋6，故选D.


4．抛物线的形状、开口方向与y＝eq \f(1,2)x2－4x＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为( C )


A．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1 B．y＝eq \f(1,2)(x－2)2－1


C．y＝eq \f(1,2)(x＋2)2＋1 D．y＝eq \f(1,2)(x＋2)2－1


【解析】 依题意得a＝eq \f(1,2)，可得该抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)(x＋2)2＋1，故选C.


5．抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(1，－2)，则b＝__－4__，c＝__0__．


【解析】 依题意得y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x，所以b＝－4，c＝0.


6．已知点A(1，2)，B(－2，5)，试写出一个二次函数，使它的图象经过A，B两点，则此二次函数可为__y＝x2＋1(答案不唯一)__．


【解析】 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，


则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝2，,4a－2b＋c＝5，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋c＝2－a，,－2b＋c＝5－4a，))


解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝a－1，,c＝3－2a，))∴y＝ax2＋(a－1)x＋3－2a.


取a≠0的数即可，如当a＝1时，y＝x2＋1.


7．如图22－1－30，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为__3__．


【解析】 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－b＋c＝0，,1＋b＋c＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－1，,c＝－2，))所以y＝x2－x－2，令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以AC长为3.





图22－1－30





图22－1－31


8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－1－31所示．


(1)这个二次函数的解析式是__y＝x2－2x__；


(2)当x＝__3或－1__时，y＝3.


【解析】 (1)由抛物线过点(0，0)，(1，－1)，(2，0)，


则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝0，,a＋b＋c＝－1，,4a＋2b＋c＝0，))解得a＝1，b＝－2，c＝0，∴y＝x2－2x.


(2)当x2－2x＝3时，解得x1＝3，x2＝－1，


所以当x＝3或－1时，y＝3.


9．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：


从上表可知，下列说法中正确的是__①③④__．(填写序号)


①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；


②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；


③抛物线的对称轴是x＝eq \f(1,2)；


④在对称轴左侧，y随x的增大而增大．


【解析】 从表中取出三个点代入y＝ax2＋bx＋c，求出函数解析式，进行判断．


10．已知抛物线的顶点为(1，－1)，且过点(2，1)，求这个函数的解析式．


解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－1，


把点(2，1)代入解析式得：a－1＝1，


解得a＝2，


∴这个函数的解析式为y＝2(x－1)2－1.


11．根据下列条件，求二次函数的解析式：


(1)图象的顶点为(2，3)，且过点(3，1)；


(2)图象经过点(1，－2)，(0，－1)，(－2，－11)．


解：(1)设函数的解析式是y＝a(x－2)2＋3，代入点(3，1)得：a＝－2，


则函数的解析式是：y＝－2(x－2)2＋3；


(2)设函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c.根据题意得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝－2，,c＝－1，,4a－2b＋c＝－11，))


解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝1，,c＝－1，))


则函数的解析式是：y＝－2x2＋x－1.


12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应的解析式及顶点坐标．


解：根据题意，得：


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝2，,a＋b＋c＝4，,25a＋5b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝2，,c＝\f(5,2)，))


∴此抛物线对应的解析式y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋eq \f(5,2)，


即y＝－eq \f(1,2)(x－2)2＋eq \f(5,2)，∴顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))).








13．当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．


解：∵当k＝1时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k没有最大值；


当k≠1时，当函数图象开口向下时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k有最大值，∴k－1＜0，解得k＜1，


∴当k＝－1时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k有最大值，此时函数解析式为y＝－2x2－4x＋6＝－2(x＋1)2＋8，且最大值为8.





图22－1－32


14．如图22－1－32，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C(0，－2)，过点A，C画直线．


(1)求二次函数的解析式；


(2)若点P在x轴正半轴上，且PA＝PC，求OP的长．


解：(1)设该二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，


将x＝0，y＝－2代入，得－2＝a(0＋1)(0－2)，


解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－2)，


即y＝x2－x－2.


(2)设OP＝x，则PC＝PA＝x＋1，


在Rt△POC中，由勾股定理，得x2＋22＝(x＋1)2，


解得x＝eq \f(3,2)，即OP＝eq \f(3,2).





图22－1－33


15．如图22－1－33，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，且A点坐标为(－3，0)，经过B点的直线交抛物线于点D(－2，－3)．


(1)求抛物线的解析式；


(2)求直线BD的解析式．


解：(1)将A(－3，0)，D(－2，－3)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9－3b＋c＝0，,4－2b＋c＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝－3，))


∴y＝x2＋2x－3.


(2)由x2＋2x－3＝0，得 x1＝－3，x2＝1，


∴B的坐标是(1，0)．


设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝0，,－2k＋b＝－3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝－1，))


∴直线BD的解析式为y＝x－1.








图22－1－34


16．如图22－1－34，已知二次函数y＝x2＋bx＋c过点A(1，0)，C(0，－3)．


(1)求此二次函数的解析式；


(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．


解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c过点A(1，0)，c(0，－3)，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋b＋c＝0,c＝－3))


解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2,c＝－3))


∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3；


(2)∵当y＝0时，x2＋2x－3＝0，


解得：x1＝－3，x2＝1；


∴A(1，0)，B(－3，0)，


∴AB＝4，


设P(m，n)，


∵△ABP的面积为10，


∴eq \f(1,2)AB·|n|＝10，


解得：n＝±5，


当n＝5时，m2＋2m－3＝5，


解得：m＝－4或2，


∴点P坐标为(－4，5)或(2，5)；


当n＝－5时，m2＋2m－3＝－5，


方程无解，


故点P坐标为(－4，5)或(2，5)．








x
……
y
……
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
－1
2
3
2
－1
…
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
x
…
－2
－1
0
1
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